線形代数例

x + y + 4 z = 2

$x + y + 4 z = 2$ ,

x + 2 y - 4 z = 1

$x + 2 y - 4 z = 1$ ,

3 x + 8 y + k z = 2

$3 x + 8 y + k z = 2$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で書きます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 1 & 2 & - 4 & 1 3 & 8 & k & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 1 - 1 & 2 - 1 & - 4 - 4 & 1 - 2 3 & 8 & k & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & - 4 - 4 & 1 - 2 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 3 & 8 & k & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 3 & 8 & k & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

ステップ 2.2

行演算

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 \cdot 1 & k - 3 \cdot 4 & 2 - 3 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 \cdot 1 & k - 3 \cdot 4 & 2 - 3 \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

ステップ 2.3

行演算

R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & k - 12 - 5 \cdot - 8 & - 4 - 5 \cdot - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & k - 12 - 5 \cdot - 8 & - 4 - 5 \cdot - 1 \end{array}]$

ステップ 2.3.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

\frac{1}{k + 28}

$\frac{1}{k + 28}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

\frac{1}{k + 28}

$\frac{1}{k + 28}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 \frac{0}{k + 28} & \frac{0}{k + 28} & \frac{k + 28}{k + 28} & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ \frac{0}{k + 28} & \frac{0}{k + 28} & \frac{k + 28}{k + 28} & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.4.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & - 8 & - 1 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.5

行演算

R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

行演算

R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 + 8 \cdot 0 & 1 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & - 1 + 8 \frac{1}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 + 8 \cdot 0 & 1 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & - 1 + 8 \frac{1}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.5.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.6

行演算

R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

行演算

R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \frac{1}{k + 28} 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \frac{1}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.6.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.7

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} + \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 2.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

ステップ 3

$k = - 28$ のとき

$\frac{1}{k + 28}$ が未定義なので、

$k = - 28$ は連立を解をもたないものにします。

$k = - 28$

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