線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1

集合に

S

$S$ という名前を付けて、問題全体を利用します。

S = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - 3 - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 201 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 2

生成する集合内の行がベクトルである行列を作ります。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 - 1 & - 3 & - 5 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

行列の縮小した階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

R_{2}

$R_{2}$ と

R_{1}

$R_{1}$ を交換し、ゼロでない項目を

1, 1

$1, 1$ に設定します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & - 3 & - 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - - 3 & - - 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 2 & 3 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

ステップ 3.4

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & - 6 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算

R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算

R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

ステップ 3.5.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6

行演算

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

行演算

R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} 0 & 1 & \frac{3}{2} 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

ゼロではない行を列ベクトルに変換し、基底を作ります。

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 \frac{1}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 01 \frac{3}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

ステップ 5

基底に

2

$2$ ベクトルがあるので、

S

$S$ の次元は

2

$2$ です。

dim (S) = 2

$dim (S) = 2$

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線形代数 例

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