線形代数例

[\begin{matrix} 2 & 4 8 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 8 & 6 \end{array}]$

ステップ 1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、

a d - b c

$a d - b c$ は行列式です。

ステップ 2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

2 \cdot 6 - 8 \cdot 4

$2 \cdot 6 - 8 \cdot 4$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

2

$2$ に

6

$6$ をかけます。

12 - 8 \cdot 4

$12 - 8 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.2

- 8

$- 8$ に

4

$4$ をかけます。

12 - 32

$12 - 32$

12 - 32

$12 - 32$

ステップ 2.2.2

12

$12$ から

32

$32$ を引きます。

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

ステップ 3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 4

既知の値を逆数の公式に代入します。

\frac{1}{- 20} [\begin{matrix} 6 & - 4 - 8 & 2 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

- \frac{1}{20} [\begin{matrix} 6 & - 4 - 8 & 2 \end{matrix}]

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

ステップ 6

- \frac{1}{20}

$- \frac{1}{20}$ に行列の各要素を掛けます。

[\begin{matrix} - \frac{1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

- \frac{1}{20}

$- \frac{1}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

[\begin{matrix} \frac{- 1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.1.2

2

$2$ を

20

$20$ で因数分解します。

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.1.3

2

$2$ を

6

$6$ で因数分解します。

[\begin{matrix} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.1.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.1.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 3 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.2

$\frac{- 1}{10}$ と

$3$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.3

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- \frac{1}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.5.2

$4$ を

$20$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.5.3

$4$ を

$- 4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.5.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.5.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{5} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.6

$\frac{- 1}{5}$ と

$- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- - 1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.7

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.8

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- \frac{1}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.8.2

$4$ を

$20$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.8.3

$4$ を

$- 8$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.8.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.8.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.9

$\frac{- 1}{5}$ と

$- 2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- - 2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.10

$- 1$ に

$- 2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

$- \frac{1}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.11.2

$2$ を

$20$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.11.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.11.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{10} \end{array}]$

ステップ 7.12

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{10} \end{array}]$

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