線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 2 - 1 & 4 - 2 \\ 6 - 3 & 8 - 4 \end{array}]$

ステップ 2

各要素を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 - 2 \\ 6 - 3 & 8 - 4 \end{array}]$

ステップ 2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 6 - 3 & 8 - 4 \end{array}]$

ステップ 2.3

$6$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 8 - 4 \end{array}]$

ステップ 2.4

$8$ から $4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 3

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 4

行列式を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 4 - 3 \cdot 2$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 3 \cdot 2$

ステップ 4.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$4 - 6$

ステップ 4.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2$

ステップ 5

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 6

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 8

$- \frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.1.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.1.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - 2 & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - 2 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.3.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - 2 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.3.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 9.5.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.5.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 9.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}]$

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