線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 2 + 1 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

ステップ 2

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

ステップ 2.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

ステップ 2.3

$6$ と $3$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 8 + 4 \end{array}]$

ステップ 2.4

$8$ と $4$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{array}]$

ステップ 3

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 4

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$3 \cdot 12 - 9 \cdot 6$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$3$ に $12$ をかけます。

$36 - 9 \cdot 6$

ステップ 4.2.1.2

$- 9$ に $6$ をかけます。

$36 - 54$

ステップ 4.2.2

$36$ から $54$ を引きます。

$- 18$

ステップ 5

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 6

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{- 18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

ステップ 8

$- \frac{1}{18}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- \frac{1}{18}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.1.2

$6$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 (3)} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.1.3

$6$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.1.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.1.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.2

$\frac{- 1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$- \frac{1}{18}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.5.2

$6$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 (3)} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.5.3

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.5.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.5.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.6

$\frac{- 1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- - 1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.8

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1

$- \frac{1}{18}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.8.2

$9$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 (2)} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.8.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.8.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.8.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.9

$\frac{- 1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.11

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.11.1

$- \frac{1}{18}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.11.2

$3$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 (6)} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.11.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 \cdot 6} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 9.11.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{6} \end{array}]$

ステップ 9.12

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{6} \end{array}]$

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