線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \\ - 5 & - 3 \end{array}]$

ステップ 1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 2 + 3 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

ステップ 2

各要素を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

ステップ 2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

ステップ 2.3

$4$ と $5$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 1 + 3 \end{array}]$

ステップ 2.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 4 \end{array}]$

ステップ 3

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 4

行列式を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot 4 - 9 \cdot 4$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$5$ に $4$ をかけます。

$20 - 9 \cdot 4$

ステップ 4.2.1.2

$- 9$ に $4$ をかけます。

$20 - 36$

ステップ 4.2.2

$20$ から $36$ を引きます。

$- 16$

ステップ 5

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 6

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{- 16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

ステップ 8

$- \frac{1}{16}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$- \frac{1}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.1.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 (4)} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.1.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.1.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.2

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$- \frac{1}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 (4)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.3.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.3.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.3.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.4

$\frac{- 1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- - 1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.6

$- \frac{1}{16} \cdot - 9$ を掛けます。

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ステップ 9.6.1

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 9 (\frac{1}{16}) & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.6.2

$9$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 9.7

$- \frac{1}{16} \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 9.7.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - 5 (\frac{1}{16}) \end{array}]$

ステップ 9.7.2

$- 5$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & \frac{- 5}{16} \end{array}]$

ステップ 9.8

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{5}{16} \end{array}]$

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