線形代数例

{[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1

集合に

S

$S$ という名前を付けて、問題全体を利用します。

S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 2

生成する集合内の行がベクトルである行列を作ります。

[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

行列の縮小した階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 3.3.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

ステップ 3.4

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

ステップ 3.4.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]$

ステップ 3.5.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

ステップ 3.6

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

\frac{8}{7}

$\frac{8}{7}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

\frac{8}{7}

$\frac{8}{7}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]$

ステップ 3.6.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算

R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

行演算

R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ を行い

2, 3

$2, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

行演算

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ を行い

1, 3

$1, 3$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

行演算

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.9.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

ゼロではない行を列ベクトルに変換し、基底を作ります。

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

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線形代数 例

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