線形代数例

$A = [\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

該当する符号図を考慮します。

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

符号図と与えられた行列を利用して、各要素の余因数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

要素 $a_{11}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$a_{11} = 12 - 8$

ステップ 2.1.2.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$a_{11} = 4$

ステップ 2.2

要素 $a_{12}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a_{12} = 12 - 4$

ステップ 2.2.2.2.2

$12$ から $4$ を引きます。

$a_{12} = 8$

ステップ 2.3

要素 $a_{13}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$4$ に $2$ をかけます。

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a_{13} = 8 - 4$

ステップ 2.3.2.2.2

$8$ から $4$ を引きます。

$a_{13} = 4$

ステップ 2.4

要素 $a_{21}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$a_{21}$ の小行列式は、行 $2$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$a_{21} = 6 - 2$

ステップ 2.4.2.2.2

$6$ から $2$ を引きます。

$a_{21} = 4$

ステップ 2.5

要素 $a_{22}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$a_{22}$ の小行列式は、行 $2$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 1$

ステップ 2.5.2.2.2

$9$ から $1$ を引きます。

$a_{22} = 8$

ステップ 2.6

要素 $a_{23}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$a_{23}$ の小行列式は、行 $2$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$a_{23} = 6 - 2$

ステップ 2.6.2.2.2

$6$ から $2$ を引きます。

$a_{23} = 4$

ステップ 2.7

要素 $a_{31}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$a_{31}$ の小行列式は、行 $3$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a_{31} = 8 - 4$

ステップ 2.7.2.2.2

$8$ から $4$ を引きます。

$a_{31} = 4$

ステップ 2.8

要素 $a_{32}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$a_{32}$ の小行列式は、行 $3$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a_{32} = 12 - 4$

ステップ 2.8.2.2.2

$12$ から $4$ を引きます。

$a_{32} = 8$

ステップ 2.9

要素 $a_{33}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$a_{33}$ の小行列式は、行 $3$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$a_{33} = 12 - 8$

ステップ 2.9.2.2.2

$12$ から $8$ を引きます。

$a_{33} = 4$

ステップ 2.10

余因子行列は符号図の $-$ 位置にある要素の符号を変更した小行列式の行列です。

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

ステップ 3

行と列を入れ替えて行列を転置します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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