線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

公式を設定し特性方程式

$p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.1.2

サイズ

$2$ の単位行列または恒等行列は

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.1.3

既知の値を

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ を

$A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

$I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.2.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.3.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

$2$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.2

$3$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.5

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(4 - λ) (3 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.1

$4$ に

$3$ をかけます。

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.3

$3$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.2.2

$- 4 λ$ から

$3 λ$ を引きます。

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.1.5.2.1.3

$- 3$ に

$2$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

ステップ 1.1.5.2.2

$12$ から

$6$ を引きます。

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

ステップ 1.1.5.2.3

$- 7 λ$ と

$λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

ステップ 1.1.6

特性多項式を

$0$ と等しくし、固有値

$λ$ を求めます。

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

ステップ 1.1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

たすき掛けを利用して

$λ^{2} - 7 λ + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$6$ で、その和が

$- 7$ です。

$- 6, - 1$

ステップ 1.1.7.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

ステップ 1.1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

ステップ 1.1.7.3

$λ - 6$ を

$0$ に等しくし、

$λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

$λ - 6$ が

$0$ に等しいとします。

$λ - 6 = 0$

ステップ 1.1.7.3.2

方程式の両辺に

$6$ を足します。

$λ = 6$

ステップ 1.1.7.4

$λ - 1$ を

$0$ に等しくし、

$λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

$λ - 1$ が

$0$ に等しいとします。

$λ - 1 = 0$

ステップ 1.1.7.4.2

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$λ = 1$

ステップ 1.1.7.5

最終解は

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 6, 1$

ステップ 1.2

固有ベクトルは、行列の0空間から固有値を引いたものに、単位行列をかけたものに等しくなります。ここでは

$N$ が0空間、

$I$ は単位行列です。

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 1.3

固有値

$λ = 6$ を使用して固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$- 6$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.1

$- 6$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.2

$- 6$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.3

$- 6$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.4

$- 6$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$4$ から

$6$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.3

$3$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.4

$3$ から

$6$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.3

$λ = 6$ の場合の0空間を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$R_{1}$ の各要素に

$- \frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1.1

$R_{1}$ の各要素に

$- \frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.2

行演算

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x - y = 0$

$0 = 0$

ステップ 1.3.3.4

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

ステップ 1.3.3.5

ベクトルの線形結合として解を書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.6

解の集合で書きます。

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 1.3.3.7

解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1.4

固有値

$λ = 1$ を使用して固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.2

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$4$ から

$1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.2.2

$2$ から

$0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.2.3

$3$ から

$0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.2.4

$3$ から

$1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.4.3

$λ = 1$ の場合の0空間を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.2

行演算

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 1.4.3.4

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

ベクトルの線形結合として解を書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

解の集合で書きます。

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 1.4.3.7

解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1.5

$A$ の固有空間は、各固有値のベクトル空間のリストです。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 2

$P$ を固有ベクトルの行列として定義します。

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

$P$ の逆数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、

$a d - b c$ は行列式です。

ステップ 3.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$1 - - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$- - \frac{2}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$\frac{2}{3}$ に

$1$ をかけます。

$1 + \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 + 2}{3}$

ステップ 3.2.2.4

$3$ と

$2$ をたし算します。

$\frac{5}{3}$

ステップ 3.3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 3.4

既知の値を逆数の公式に代入します。

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.6

$\frac{3}{5}$ に

$1$ をかけます。

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.7

$\frac{3}{5}$ に行列の各要素を掛けます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$\frac{3}{5}$ に

$1$ をかけます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

共通因数を約分します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.2.2

式を書き換えます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.3

$\frac{1}{5}$ と

$2$ をまとめます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.4

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.8.4.1

$\frac{3}{5}$ と

$- 1$ をまとめます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.4.2

$3$ に

$- 1$ をかけます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.6

$\frac{3}{5}$ に

$1$ をかけます。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

ステップ 4

相似変換を使って対角行列

$D$ を求めます。

$D = P^{- 1} A P$

ステップ 5

行列を代入します。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は

$2 \times 2$ 、第二の行列は

$2 \times 2$ です。

ステップ 6.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6.2

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は

$2 \times 2$ 、第二の行列は

$2 \times 2$ です。

ステップ 6.2.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 6.2.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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線形代数 例

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