線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & 2 & 0 2 & 5 & 0 4 & - 1 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

公式を設定し特性方程式

$p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.1.2

サイズ

$3$ の単位行列または恒等行列は

$3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.1.3

既知の値を

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ を

$A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を

$I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.2.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.3.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.4.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.4.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.5

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.6.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.6.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.7.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.7.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.8.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.8.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.1.4.1.2.9

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

$2$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.3

$2$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.4

$0$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.5

$4$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.4.3.6

$- 1$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.1.5

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

最大の

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。列

$3$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 1.1.5.1.3

$a_{13}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.4

要素

$a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.5

$a_{23}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.6

要素

$a_{23}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.7

$a_{33}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.8

要素

$a_{33}$ にその余因子を掛けます。

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

ステップ 1.1.5.1.9

項同士を足します。

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

ステップ 1.1.5.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

ステップ 1.1.5.3

$0$ に

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

ステップ 1.1.5.4

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(5 - λ) (5 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.1

$5$ に

$5$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.3

$5$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.2.2

$- 5 λ$ から

$5 λ$ を引きます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

ステップ 1.1.5.4.2.1.3

$- 2$ に

$2$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

ステップ 1.1.5.4.2.2

$25$ から

$4$ を引きます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

ステップ 1.1.5.4.2.3

$- 10 λ$ と

$λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

ステップ 1.1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.1

$0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.1.1

$0$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

ステップ 1.1.5.5.1.2

$0$ と

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ をたし算します。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

ステップ 1.1.5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ を展開します。

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.3.1

$- 10$ に

$4$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.2

$4$ に

$21$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.3

指数を足して

$λ$ に

$λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に

$λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.3.3.2.1

$λ$ を

$1$ 乗します。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.3.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.3.3

$2$ と

$1$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.5

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.5.3.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.5.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.6

$- 1$ に

$- 10$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

ステップ 1.1.5.5.3.7

$21$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

ステップ 1.1.5.5.4

$4 λ^{2}$ と

$10 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

ステップ 1.1.5.5.5

$- 40 λ$ から

$21 λ$ を引きます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

ステップ 1.1.5.5.6

$84$ を移動させます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

ステップ 1.1.5.5.7

$- 61 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

ステップ 1.1.5.5.8

$14 λ^{2}$ と

$- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

ステップ 1.1.6

特性多項式を

$0$ と等しくし、固有値

$λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

ステップ 1.1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

有理根検定を用いて

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

$p$ は定数の因数、

$q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

ステップ 1.1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

ステップ 1.1.7.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は

$0$ に等しいので、

$3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.2

$3$ を

$3$ 乗します。

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.3

$- 1$ に

$27$ をかけます。

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.4

$3$ を

$2$ 乗します。

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.5

$14$ に

$9$ をかけます。

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.6

$- 27$ と

$126$ をたし算します。

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.7

$- 61$ に

$3$ をかけます。

$99 - 183 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.8

$99$ から

$183$ を引きます。

$- 84 + 84$

ステップ 1.1.7.1.1.3.9

$- 84$ と

$84$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.1.7.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を

$λ - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

ステップ 1.1.7.1.1.5

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ を

$λ - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

$0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.2

被除数

$- λ^{3}$ の最高次項を除数

$λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

ステップ 1.1.7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

ステップ 1.1.7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

ステップ 1.1.7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

ステップ 1.1.7.1.1.5.7

被除数

$11 λ^{2}$ の最高次項を除数

$λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

ステップ 1.1.7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

ステップ 1.1.7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、

$11 λ^{2} - 33 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

ステップ 1.1.7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

ステップ 1.1.7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.12

被除数

$- 28 λ$ の最高次項を除数

$λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、

$- 28 λ + 84$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

ステップ 1.1.7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

ステップ 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

ステップ 1.1.7.1.1.6

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が

$a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ で和が

$b = 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.2.1.1.1

$11$ を

$11 λ$ で因数分解します。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.1.1.2

$11$ を

$4$ プラス

$7$ に書き換える

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.1.3

最大公約数

$- λ + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

ステップ 1.1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

ステップ 1.1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

ステップ 1.1.7.3

$λ - 3$ を

$0$ に等しくし、

$λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

$λ - 3$ が

$0$ に等しいとします。

$λ - 3 = 0$

ステップ 1.1.7.3.2

方程式の両辺に

$3$ を足します。

$λ = 3$

ステップ 1.1.7.4

$- λ + 4$ を

$0$ に等しくし、

$λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

$- λ + 4$ が

$0$ に等しいとします。

$- λ + 4 = 0$

ステップ 1.1.7.4.2

$λ$ について

$- λ + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.2.1

方程式の両辺から

$4$ を引きます。

$- λ = - 4$

ステップ 1.1.7.4.2.2

$- λ = - 4$ の各項を

$- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.2.2.1

$- λ = - 4$ の各項を

$- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.1.7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.1.7.4.2.2.2.2

$λ$ を

$1$ で割ります。

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.1.7.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.2.2.3.1

$- 4$ を

$- 1$ で割ります。

$λ = 4$

ステップ 1.1.7.5

$λ - 7$ を

$0$ に等しくし、

$λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.5.1

$λ - 7$ が

$0$ に等しいとします。

$λ - 7 = 0$

ステップ 1.1.7.5.2

方程式の両辺に

$7$ を足します。

$λ = 7$

ステップ 1.1.7.6

最終解は

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 3, 4, 7$

ステップ 1.2

固有ベクトルは、行列の0空間から固有値を引いたものに、単位行列をかけたものに等しくなります。ここでは

$N$ が0空間、

$I$ は単位行列です。

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 1.3

固有値

$λ = 3$ を使用して固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$- 3$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.1

$- 3$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.2

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.3

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.4

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.5

$- 3$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.6

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.7

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.8

$- 3$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.1.2.9

$- 3$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$5$ から

$3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.3

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.4

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.5

$5$ から

$3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.6

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.7

$4$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.8

$- 1$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

ステップ 1.3.2.3.9

$4$ から

$3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.3

$λ = 3$ の場合の0空間を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1.1

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.2

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.3

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.3.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.4

$R_{3}$ と

$R_{2}$ を交換し、ゼロでない項目を

$2, 2$ に設定します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.5

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{5}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.5.1

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{5}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.5.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.6

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.6.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

ステップ 1.3.3.4

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

ステップ 1.3.3.5

ベクトルの線形結合として解を書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1.3.3.6

解の集合で書きます。

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 1.3.3.7

解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1.4

固有値

$λ = 4$ を使用して固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$- 4$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.2

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.3

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.4

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.5

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.6

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.7

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.8

$- 4$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.1.2.9

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.1

$5$ から

$4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.3

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.4

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.5

$5$ から

$4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.6

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.7

$4$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.8

$- 1$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

ステップ 1.4.2.3.9

$4$ から

$4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3

$λ = 4$ の場合の0空間を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.2

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.3

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.3.1

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.4

行演算

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.4.1

行演算

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.5

行演算

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.5.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 1.4.3.4

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

ベクトルの線形結合として解を書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

解の集合で書きます。

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 1.4.3.7

解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1.5

固有値

$λ = 7$ を使用して固有ベクトルを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

$- 7$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

$- 7$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.3

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.4

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.5

$- 7$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.6

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.7

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.8

$- 7$ に

$0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.1.2.9

$- 7$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.3.1

$5$ から

$7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.3

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.4

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.5

$5$ から

$7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.6

$0$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.7

$4$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.8

$- 1$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

ステップ 1.5.2.3.9

$4$ から

$7$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 1.5.3

$λ = 7$ の場合の0空間を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$R_{1}$ の各要素に

$- \frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$R_{1}$ の各要素に

$- \frac{1}{2}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.2

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.3

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.3.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.4

$R_{3}$ と

$R_{2}$ を交換し、ゼロでない項目を

$2, 2$ に設定します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.5

$R_{2}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.5.1

$R_{2}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.5.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.6

行演算

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.6.1

行演算

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

ステップ 1.5.3.4

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

ステップ 1.5.3.5

ベクトルの線形結合として解を書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1.5.3.6

解の集合で書きます。

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 1.5.3.7

解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1.6

$A$ の固有空間は、各固有値のベクトル空間のリストです。

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 2

$P$ を固有ベクトルの行列として定義します。

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

$P$ の逆数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

最大の

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。列

$2$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 3.1.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 3.1.1.3

$a_{12}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.4

要素

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.5

$a_{22}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.6

要素

$a_{22}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.7

$a_{32}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.8

要素

$a_{32}$ にその余因子を掛けます。

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.1.9

項同士を足します。

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.3

$0$ に

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

ステップ 3.1.4

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

ステップ 3.1.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

ステップ 3.1.4.2.1.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 3.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

ステップ 3.1.4.2.3

$- 1$ から

$1$ を引きます。

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

ステップ 3.1.4.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

ステップ 3.1.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$- 1 (- \frac{2}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

ステップ 3.1.5.1.2

$\frac{2}{5}$ に

$1$ をかけます。

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

ステップ 3.1.5.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

$0 + \frac{2}{5}$

ステップ 3.1.5.3

$0$ と

$\frac{2}{5}$ をたし算します。

$\frac{2}{5}$

ステップ 3.2

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 3.3

$3 \times 6$ 行列を、左半分を元の行列、右半分をその単位行列となるように設定します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$R_{1}$ の各要素に

$- 5$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$R_{1}$ の各要素に

$- 5$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

行演算

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.3

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.4

$R_{3}$ と

$R_{2}$ を交換し、ゼロでない項目を

$2, 2$ に設定します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.5

$R_{3}$ の各要素に

$\frac{1}{2}$ を掛けて

$3, 3$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$R_{3}$ の各要素に

$\frac{1}{2}$ を掛けて

$3, 3$ の項目を

$1$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

ステップ 3.4.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.6

行演算

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.7

行演算

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

行演算

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5

縮小行の階段形の右半分は逆行列です。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4

相似変換を使って対角行列

$D$ を求めます。

$D = P^{- 1} A P$

ステップ 5

行列を代入します。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は

$3 \times 3$ 、第二の行列は

$3 \times 3$ です。

ステップ 6.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 6.2

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は

$3 \times 3$ 、第二の行列は

$3 \times 3$ です。

ステップ 6.2.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 6.2.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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線形代数 例

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