線形代数例

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

ステップ 1

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

ステップ 2

一次連立方程式で書きます。

$8 = 3 x + 3 y$

$1 = 4 x - y$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

変数を左に、定数項を右に移動させます。

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ステップ 3.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1.1

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$8 - 3 x = 3 y$

$1 = 4 x - y$

ステップ 3.1.1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 = 4 x - y$

ステップ 3.1.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.3.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x = - y$

ステップ 3.1.3.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

ステップ 3.1.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

ステップ 3.2

式を行列で書きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 3.3.1

$R_{1}$ の各要素に $- \frac{1}{3}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.3.1.1

$R_{1}$ の各要素に $- \frac{1}{3}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

行演算 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.3.2.1

行演算 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

ステップ 3.3.3

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.3.3.1

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

ステップ 3.3.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

ステップ 3.3.4

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.3.4.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

ステップ 3.3.4.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

ステップ 3.4

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x = \frac{11}{15}$

$y = \frac{29}{15}$

ステップ 3.5

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

ステップ 3.6

解の集合で書きます。

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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