線形代数例

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

ステップ 1

変換のカーネルは、変換を0ベクトルに等しくするベクトルです（変換の原像）

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

ステップ 2

ベクトル方程式で連立方程式を作成します。

$a - b - c = 0$

$a - b + c = 0$

$a + b + 5 c = 0$

ステップ 3

式を行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 4.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.2

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 4.2.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3

$R_{3}$ と $R_{2}$ を交換し、ゼロでない項目を $2, 2$ に設定します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.4

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 4.4.1

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.5

$R_{3}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 4.5.1

$R_{3}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

ステップ 4.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.6

行演算 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 4.6.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.7

行演算 $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 4.7.1

行演算 $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.8

行演算 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 4.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 6

各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 7

解の集合で書きます。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 8

$S$ の核（カーネル）は部分空間 ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ です。

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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