線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 47 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 - 5 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 159 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

ステップ 1

行列の列が線形従属がどうかを判別するには、方程式

A x = 0

$A x = 0$ が自明でない解を持つかどうかを判別します。

ステップ 2

A x = 0

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 6 & 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

- 1

$- 1$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ を行い

3, 1

$3, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ を行い

3, 2

$3, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

R_{3}

$R_{3}$ の各要素に

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ を掛けて

3, 3

$3, 3$ の項目を

1

$1$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

行演算

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

行演算

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

行演算

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

行列を連立一次方程式で書きます。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

ステップ 5

$A x = 0$ の唯一の解は自明解であるため、ベクトルは線形独立です。

線形独立

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