線形代数例

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式

p (λ)

$p (λ)$ を求めます。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ

2

$2$ の単位行列または恒等行列は

2 \times 2

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ を

A

$A$ に代入します。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

I_{2}

$I_{2}$ に代入します。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

- λ

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

0

$0$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

0

$0$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

0

$0$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

0

$0$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

2

$2$ と

0

$0$ をたし算します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 + 0 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

3

$3$ と

0

$0$ をたし算します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

(4 - λ) (1 - λ)

$(4 - λ) (1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

4

$4$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

- 1

$- 1$ に

4

$4$ をかけます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して

λ

$λ$ に

λ

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

λ

$λ$ を移動させます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

λ

$λ$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

λ^{2}

$λ^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.2

- 4 λ

$- 4 λ$ から

λ

$λ$ を引きます。

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.3

- 3

$- 3$ に

2

$2$ をかけます。

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

ステップ 1.5.2.2

4

$4$ から

6

$6$ を引きます。

p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

ステップ 1.5.2.3

- 5 λ

$- 5 λ$ と

λ^{2}

$λ^{2}$ を並べ替えます。

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

ステップ 1.6

特性多項式を

0

$0$ と等しくし、固有値

λ

$λ$ を求めます。

λ^{2} - 5 λ - 2 = 0

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

ステップ 1.7

λ

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.2

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 5

$b = - 5$ 、および

c = - 2

$c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、

λ

$λ$ の値を求めます。

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

- 5

$- 5$ を

2

$2$ 乗します。

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2

- 4 \cdot 1 \cdot - 2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.2.1

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2.2

- 4

$- 4$ に

- 2

$- 2$ をかけます。

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.3

25

$25$ と

8

$8$ をたし算します。

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.2

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

ステップ 1.7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$0$ に

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$0$ に

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$4$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.3

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.4

$8$ から

$5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$3$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.9.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9.2

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9.3

$2$ から

$5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10

$- 3$ を

$- 1 (3)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.11

$- 1$ を

$- \sqrt{33}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12

$- 1$ を

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$4$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.3

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.4

$- - \sqrt{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.4.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.4.2

$\sqrt{33}$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.5

$8$ から

$5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$3$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.9.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9.2

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9.3

$- - \sqrt{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.9.3.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9.3.2

$\sqrt{33}$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9.4

$2$ から

$5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

$- 3$ を

$- 1 (3)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

$- 1$ を

$\sqrt{33}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

$- 1$ を

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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