線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (4 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

ステップ 1.5.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

ステップ 1.5.2.3

$- 5 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.2

$a = 1$ 、 $b = - 5$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.3

$25$ と $8$ をたし算します。

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

ステップ 1.7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3.3

$2$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$- 1$ を $- \sqrt{33}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (\sqrt{33})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.11

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.13.1

$4$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.4

$8$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3.3

$- - \sqrt{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3.3.2

$\sqrt{33}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3.4

$2$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$- 1$ を $\sqrt{33}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$- 1$ を $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.13.1

$4$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13.4

$- - \sqrt{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.13.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13.4.2

$\sqrt{33}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13.5

$8$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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線形代数 例

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