線形代数例

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式

p (λ)

$p (λ)$ を求めます。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ

2

$2$ の単位行列または恒等行列は

2 \times 2

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}]$ を

A

$A$ に代入します。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

I_{2}

$I_{2}$ に代入します。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

- λ

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

0

$0$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

0

$0$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

0

$0$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

0

$0$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 0 - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

0

$0$ から

λ

$λ$ を引きます。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 + 0 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

- 1

$- 1$ と

0

$0$ をたし算します。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 6 - λ \end{array}]$

ステップ 5

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

p (λ) = - λ (6 - λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ (6 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

p (λ) = - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2

6

$6$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

指数を足して

λ

$λ$ に

λ

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1.1

λ

$λ$ を移動させます。

p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.4.1.2

λ

$λ$ に

λ

$λ$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.4.2

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.4.3

λ^{2}

$λ^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.5

- (- 1 \cdot 1)

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - - 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - - 1$

ステップ 5.2.1.5.2

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1$

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1$

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 1$

ステップ 5.2.2

- 6 λ

$- 6 λ$ と

λ^{2}

$λ^{2}$ を並べ替えます。

p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1$

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線形代数 例

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