例

[\begin{matrix} 6 & 8 2 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式

p (λ)

$p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ

$2$ の単位行列または恒等行列は

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ を

$A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

$I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$8$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 & 5 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (6 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(6 - λ) (5 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 6 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$6$ に

$5$ をかけます。

$p (λ) = 30 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に

$6$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$5$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 6 λ$ から

$5 λ$ を引きます。

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.3

$- 2$ に

$8$ をかけます。

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 16$

ステップ 1.5.2.2

$30$ から

$16$ を引きます。

$p (λ) = - 11 λ + λ^{2} + 14$

ステップ 1.5.2.3

$- 11 λ$ と

$λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 14$

ステップ 1.6

特性多項式を

$0$ と等しくし、固有値

$λ$ を求めます。

$λ^{2} - 11 λ + 14 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.2

$a = 1$ 、

$b = - 11$ 、および

$c = 14$ を二次方程式の解の公式に代入し、

$λ$ の値を求めます。

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

$- 11$ を

$2$ 乗します。

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 14$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2.2

$- 4$ に

$14$ をかけます。

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.3

$121$ から

$56$ を引きます。

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

ステップ 1.7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}, \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$0$ に

$\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$0$ に

$\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$6$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$6$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$6$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.3

$- 1$ に

$11$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.4

$12$ から

$11$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$8$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$5$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$5$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.10.1

$5$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10.3

$- 1$ に

$11$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10.4

$10$ から

$11$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.11

$- 1$ を

$- 1 (1)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12

$- 1$ を

$- \sqrt{65}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13

$- 1$ を

$- 1 (1) - (\sqrt{65})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} + \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に

$\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に

$\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$6$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$6$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

$6$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.3

$- 1$ に

$11$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.4

$- - \sqrt{65}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.4.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.4.2

$\sqrt{65}$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.5

$12$ から

$11$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$8$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$2$ と

$0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$5$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$5$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.10.1

$5$ に

$2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10.2

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10.3

$- 1$ に

$11$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10.4

$- - \sqrt{65}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.10.4.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10.4.2

$\sqrt{65}$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10.5

$10$ から

$11$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

$- 1$ を

$- 1 (1)$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

$- 1$ を

$\sqrt{65}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

$- 1$ を

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

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