有限数学 例

クラメルの公式で行列を利用して解く
y=3x+z-2 , z=3x+4 , y=5z
ステップ 1
Move all of the variables to the left side of each equation.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
方程式の両辺から3xを引きます。
y-3x=z-2
z=3x+4
y=5z
ステップ 1.1.2
方程式の両辺からzを引きます。
y-3x-z=-2
z=3x+4
y=5z
y-3x-z=-2
z=3x+4
y=5z
ステップ 1.2
y-3xを並べ替えます。
-3x+y-z=-2
z=3x+4
y=5z
ステップ 1.3
方程式の両辺から3xを引きます。
-3x+y-z=-2
z-3x=4
y=5z
ステップ 1.4
z-3xを並べ替えます。
-3x+y-z=-2
-3x+z=4
y=5z
ステップ 1.5
方程式の両辺から5zを引きます。
-3x+y-z=-2
-3x+z=4
y-5z=0
-3x+y-z=-2
-3x+z=4
y-5z=0
ステップ 2
連立方程式を行列形式で表します。
[-31-1-30101-5][xyz]=[-240]
ステップ 3
Find the determinant of the coefficient matrix [-31-1-30101-5].
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
Write [-31-1-30101-5] in determinant notation.
|-31-1-30101-5|
ステップ 3.2
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 1 by its cofactor and add.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
ステップ 3.2.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
ステップ 3.2.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|011-5|
ステップ 3.2.4
Multiply element a11 by its cofactor.
-3|011-5|
ステップ 3.2.5
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|1-11-5|
ステップ 3.2.6
Multiply element a21 by its cofactor.
3|1-11-5|
ステップ 3.2.7
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|1-101|
ステップ 3.2.8
Multiply element a31 by its cofactor.
0|1-101|
ステップ 3.2.9
Add the terms together.
-3|011-5|+3|1-11-5|+0|1-101|
-3|011-5|+3|1-11-5|+0|1-101|
ステップ 3.3
0|1-101|をかけます。
-3|011-5|+3|1-11-5|+0
ステップ 3.4
|011-5|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
-3(0-5-11)+3|1-11-5|+0
ステップ 3.4.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.2.1.1
0-5をかけます。
-3(0-11)+3|1-11-5|+0
ステップ 3.4.2.1.2
-11をかけます。
-3(0-1)+3|1-11-5|+0
-3(0-1)+3|1-11-5|+0
ステップ 3.4.2.2
0から1を引きます。
-3-1+3|1-11-5|+0
-3-1+3|1-11-5|+0
-3-1+3|1-11-5|+0
ステップ 3.5
|1-11-5|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.5.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
-3-1+3(1-5-1-1)+0
ステップ 3.5.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.5.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.5.2.1.1
-51をかけます。
-3-1+3(-5-1-1)+0
ステップ 3.5.2.1.2
-1-1をかけます。
-3-1+3(-5+1)+0
-3-1+3(-5+1)+0
ステップ 3.5.2.2
-51をたし算します。
-3-1+3-4+0
-3-1+3-4+0
-3-1+3-4+0
ステップ 3.6
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.6.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.6.1.1
-3-1をかけます。
3+3-4+0
ステップ 3.6.1.2
3-4をかけます。
3-12+0
3-12+0
ステップ 3.6.2
3から12を引きます。
-9+0
ステップ 3.6.3
-90をたし算します。
-9
-9
D=-9
ステップ 4
Since the determinant is not 0, the system can be solved using Cramer's Rule.
ステップ 5
Find the value of x by Cramer's Rule, which states that x=DxD.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
Replace column 1 of the coefficient matrix that corresponds to the x-coefficients of the system with [-240].
|-21-140101-5|
ステップ 5.2
Find the determinant.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 1 by its cofactor and add.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
ステップ 5.2.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
ステップ 5.2.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|011-5|
ステップ 5.2.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
-2|011-5|
ステップ 5.2.1.5
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|1-11-5|
ステップ 5.2.1.6
Multiply element a21 by its cofactor.
-4|1-11-5|
ステップ 5.2.1.7
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|1-101|
ステップ 5.2.1.8
Multiply element a31 by its cofactor.
0|1-101|
ステップ 5.2.1.9
Add the terms together.
-2|011-5|-4|1-11-5|+0|1-101|
-2|011-5|-4|1-11-5|+0|1-101|
ステップ 5.2.2
0|1-101|をかけます。
-2|011-5|-4|1-11-5|+0
ステップ 5.2.3
|011-5|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.3.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
-2(0-5-11)-4|1-11-5|+0
ステップ 5.2.3.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.3.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.3.2.1.1
0-5をかけます。
-2(0-11)-4|1-11-5|+0
ステップ 5.2.3.2.1.2
-11をかけます。
-2(0-1)-4|1-11-5|+0
-2(0-1)-4|1-11-5|+0
ステップ 5.2.3.2.2
0から1を引きます。
-2-1-4|1-11-5|+0
-2-1-4|1-11-5|+0
-2-1-4|1-11-5|+0
ステップ 5.2.4
|1-11-5|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
-2-1-4(1-5-1-1)+0
ステップ 5.2.4.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.2.1.1
-51をかけます。
-2-1-4(-5-1-1)+0
ステップ 5.2.4.2.1.2
-1-1をかけます。
-2-1-4(-5+1)+0
-2-1-4(-5+1)+0
ステップ 5.2.4.2.2
-51をたし算します。
-2-1-4-4+0
-2-1-4-4+0
-2-1-4-4+0
ステップ 5.2.5
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.5.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.5.1.1
-2-1をかけます。
2-4-4+0
ステップ 5.2.5.1.2
-4-4をかけます。
2+16+0
2+16+0
ステップ 5.2.5.2
216をたし算します。
18+0
ステップ 5.2.5.3
180をたし算します。
18
18
Dx=18
ステップ 5.3
Use the formula to solve for x.
x=DxD
ステップ 5.4
Substitute -9 for D and 18 for Dx in the formula.
x=18-9
ステップ 5.5
18-9で割ります。
x=-2
x=-2
ステップ 6
Find the value of y by Cramer's Rule, which states that y=DyD.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
Replace column 2 of the coefficient matrix that corresponds to the y-coefficients of the system with [-240].
|-3-2-1-34100-5|
ステップ 6.2
Find the determinant.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 3 by its cofactor and add.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
ステップ 6.2.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
ステップ 6.2.1.3
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|-2-141|
ステップ 6.2.1.4
Multiply element a31 by its cofactor.
0|-2-141|
ステップ 6.2.1.5
The minor for a32 is the determinant with row 3 and column 2 deleted.
|-3-1-31|
ステップ 6.2.1.6
Multiply element a32 by its cofactor.
0|-3-1-31|
ステップ 6.2.1.7
The minor for a33 is the determinant with row 3 and column 3 deleted.
|-3-2-34|
ステップ 6.2.1.8
Multiply element a33 by its cofactor.
-5|-3-2-34|
ステップ 6.2.1.9
Add the terms together.
0|-2-141|+0|-3-1-31|-5|-3-2-34|
0|-2-141|+0|-3-1-31|-5|-3-2-34|
ステップ 6.2.2
0|-2-141|をかけます。
0+0|-3-1-31|-5|-3-2-34|
ステップ 6.2.3
0|-3-1-31|をかけます。
0+0-5|-3-2-34|
ステップ 6.2.4
|-3-2-34|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.4.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
0+0-5(-34-(-3-2))
ステップ 6.2.4.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.4.2.1.1
-34をかけます。
0+0-5(-12-(-3-2))
ステップ 6.2.4.2.1.2
-(-3-2)を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.4.2.1.2.1
-3-2をかけます。
0+0-5(-12-16)
ステップ 6.2.4.2.1.2.2
-16をかけます。
0+0-5(-12-6)
0+0-5(-12-6)
0+0-5(-12-6)
ステップ 6.2.4.2.2
-12から6を引きます。
0+0-5-18
0+0-5-18
0+0-5-18
ステップ 6.2.5
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.5.1
-5-18をかけます。
0+0+90
ステップ 6.2.5.2
00をたし算します。
0+90
ステップ 6.2.5.3
090をたし算します。
90
90
Dy=90
ステップ 6.3
Use the formula to solve for y.
y=DyD
ステップ 6.4
Substitute -9 for D and 90 for Dy in the formula.
y=90-9
ステップ 6.5
90-9で割ります。
y=-10
y=-10
ステップ 7
Find the value of z by Cramer's Rule, which states that z=DzD.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
Replace column 3 of the coefficient matrix that corresponds to the z-coefficients of the system with [-240].
|-31-2-304010|
ステップ 7.2
Find the determinant.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 3 by its cofactor and add.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
ステップ 7.2.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
ステップ 7.2.1.3
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|1-204|
ステップ 7.2.1.4
Multiply element a31 by its cofactor.
0|1-204|
ステップ 7.2.1.5
The minor for a32 is the determinant with row 3 and column 2 deleted.
|-3-2-34|
ステップ 7.2.1.6
Multiply element a32 by its cofactor.
-1|-3-2-34|
ステップ 7.2.1.7
The minor for a33 is the determinant with row 3 and column 3 deleted.
|-31-30|
ステップ 7.2.1.8
Multiply element a33 by its cofactor.
0|-31-30|
ステップ 7.2.1.9
Add the terms together.
0|1-204|-1|-3-2-34|+0|-31-30|
0|1-204|-1|-3-2-34|+0|-31-30|
ステップ 7.2.2
0|1-204|をかけます。
0-1|-3-2-34|+0|-31-30|
ステップ 7.2.3
0|-31-30|をかけます。
0-1|-3-2-34|+0
ステップ 7.2.4
|-3-2-34|の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.4.1
2×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cbを利用して求めることができます。
0-1(-34-(-3-2))+0
ステップ 7.2.4.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.4.2.1.1
-34をかけます。
0-1(-12-(-3-2))+0
ステップ 7.2.4.2.1.2
-(-3-2)を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.4.2.1.2.1
-3-2をかけます。
0-1(-12-16)+0
ステップ 7.2.4.2.1.2.2
-16をかけます。
0-1(-12-6)+0
0-1(-12-6)+0
0-1(-12-6)+0
ステップ 7.2.4.2.2
-12から6を引きます。
0-1-18+0
0-1-18+0
0-1-18+0
ステップ 7.2.5
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.5.1
-1-18をかけます。
0+18+0
ステップ 7.2.5.2
018をたし算します。
18+0
ステップ 7.2.5.3
180をたし算します。
18
18
Dz=18
ステップ 7.3
Use the formula to solve for z.
z=DzD
ステップ 7.4
Substitute -9 for D and 18 for Dz in the formula.
z=18-9
ステップ 7.5
18-9で割ります。
z=-2
z=-2
ステップ 8
連立方程式の解を記載します。
x=-2
y=-10
z=-2
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