有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.7

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ です。

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ステップ 1.8.1

$0.1$ と $0.2$ をたし算します。

$0.3 + 0.3 + 0.4$

ステップ 1.8.2

$0.3$ と $0.3$ をたし算します。

$0.6 + 0.4$

ステップ 1.8.3

$0.6$ と $0.4$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.9

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$6$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

ステップ 3.2

$9$ に $0.2$ をかけます。

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

ステップ 3.3

$13$ に $0.3$ をかけます。

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

ステップ 3.4

$16$ に $0.4$ をかけます。

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$0.6$ と $1.8$ をたし算します。

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

ステップ 4.2

$2.4$ と $3.9$ をたし算します。

$u = 6.3 + 6.4$

ステップ 4.3

$6.3$ と $6.4$ をたし算します。

$u = 12.7$

ステップ 5

分布の分散は、分散を測定するもので、標準偏差の2乗に等しいです。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

ステップ 6

既知数を記入します。

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ に $12.7$ をかけます。

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.2

$6$ から $12.7$ を引きます。

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.3

$- 6.7$ を $2$ 乗します。

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.4

$44.89$ に $0.1$ をかけます。

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.5

$- 1$ に $12.7$ をかけます。

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.6

$9$ から $12.7$ を引きます。

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.7

$- 3.7$ を $2$ 乗します。

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.8

$13.69$ に $0.2$ をかけます。

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.9

$- 1$ に $12.7$ をかけます。

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.10

$13$ から $12.7$ を引きます。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.11

指数を足して ${0.3}^{2}$ に $0.3$ を掛けます。

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ステップ 7.1.11.1

${0.3}^{2}$ に $0.3$ をかけます。

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ステップ 7.1.11.1.1

$0.3$ を $1$ 乗します。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.11.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.12

$0.3$ を $3$ 乗します。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.13

$- 1$ に $12.7$ をかけます。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.14

$16$ から $12.7$ を引きます。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.15

$3.3$ を $2$ 乗します。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

ステップ 7.1.16

$10.89$ に $0.4$ をかけます。

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

ステップ 7.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.1

$4.489$ と $2.738$ をたし算します。

$7.227 + 0.027 + 4.356$

ステップ 7.2.2

$7.227$ と $0.027$ をたし算します。

$7.254 + 4.356$

ステップ 7.2.3

$7.254$ と $4.356$ をたし算します。

$11.61$

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