有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.3 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 14 & 0.4 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.6

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4$

ステップ 1.7

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$ です。

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ステップ 1.7.1

$0.3$ と $0.1$ をたし算します。

$0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.4$

ステップ 1.7.2

$0.4$ と $0.1$ をたし算します。

$0.5 + 0.1 + 0.4$

ステップ 1.7.3

$0.5$ と $0.1$ をたし算します。

$0.6 + 0.4$

ステップ 1.7.4

$0.6$ と $0.4$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.8

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$u = 2 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ に $0.3$ をかけます。

$u = 0.6 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

ステップ 3.2

$5$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.6 + 0.5 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

ステップ 3.3

$8$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

ステップ 3.4

$11$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 14 \cdot 0.4$

ステップ 3.5

$14$ に $0.4$ をかけます。

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 5.6$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$0.6$ と $0.5$ をたし算します。

$u = 1.1 + 0.8 + 1.1 + 5.6$

ステップ 4.2

$1.1$ と $0.8$ をたし算します。

$u = 1.9 + 1.1 + 5.6$

ステップ 4.3

$1.9$ と $1.1$ をたし算します。

$u = 3 + 5.6$

ステップ 4.4

$3$ と $5.6$ をたし算します。

$u = 8.6$

ステップ 5

分布の分散は、分散を測定するもので、標準偏差の2乗に等しいです。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

ステップ 6

既知数を記入します。

${(2 - (8.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ に $8.6$ をかけます。

${(2 - 8.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.2

$2$ から $8.6$ を引きます。

${(- 6.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.3

$- 6.6$ を $2$ 乗します。

$43.56 \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.4

$43.56$ に $0.3$ をかけます。

$13.068 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.5

$- 1$ に $8.6$ をかけます。

$13.068 + {(5 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.6

$5$ から $8.6$ を引きます。

$13.068 + {(- 3.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.7

$- 3.6$ を $2$ 乗します。

$13.068 + 12.96 \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.8

$12.96$ に $0.1$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.9

$- 1$ に $8.6$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + {(8 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.10

$8$ から $8.6$ を引きます。

$13.068 + 1.296 + {(- 0.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.11

$- 0.6$ を $2$ 乗します。

$13.068 + 1.296 + 0.36 \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.12

$0.36$ に $0.1$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.13

$- 1$ に $8.6$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {(11 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.14

$11$ から $8.6$ を引きます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {2.4}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.15

$2.4$ を $2$ 乗します。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 5.76 \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.16

$5.76$ に $0.1$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.17

$- 1$ に $8.6$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {(14 - 8.6)}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.18

$14$ から $8.6$ を引きます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {5.4}^{2} \cdot 0.4$

ステップ 7.1.19

$5.4$ を $2$ 乗します。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + 29.16 \cdot 0.4$

ステップ 7.1.20

$29.16$ に $0.4$ をかけます。

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + 11.664$

ステップ 7.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.1

$13.068$ と $1.296$ をたし算します。

$14.364 + 0.036 + 0.576 + 11.664$

ステップ 7.2.2

$14.364$ と $0.036$ をたし算します。

$14.4 + 0.576 + 11.664$

ステップ 7.2.3

$14.4$ と $0.576$ をたし算します。

$14.976 + 11.664$

ステップ 7.2.4

$14.976$ と $11.664$ をたし算します。

$26.64$

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