有限数学例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 3 & 0.2 \\ 5 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 3 & 0.2 \\ 5 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

離散型確率変数

x

$x$ は個別の値（

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値

x

$x$ に確率

P (x)

$P (x)$ を割り当てる。各

x

$x$ について、確率

P (x)

$P (x)$ は

0

$0$ と

1

$1$ の間に含まれ、すべての可能な

x

$x$ 値に対する確率の合計は

1

$1$ に等しくなります。

1. 各

x

$x$ は、

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ です。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

0.2

$0.2$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

0.2

$0.2$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間

ステップ 1.3

0.3

$0.3$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

0.3

$0.3$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間

ステップ 1.4

0.1

$0.1$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

0.1

$0.1$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間

ステップ 1.5

0.2

$0.2$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

0.2

$0.2$ は

0

$0$ と

1

$1$ を含めた間

ステップ 1.6

各

x

$x$ に対して、確率

P (x)

$P (x)$ は

0

$0$ と

1

$1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.7

すべての可能な

x

$x$ 値について確率の和を求めます。

0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8

すべての可能な

x

$x$ 値について確率の和は

0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

0.2

$0.2$ と

0.2

$0.2$ をたし算します。

0.4 + 0.3 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8.2

0.4

$0.4$ と

0.3

$0.3$ をたし算します。

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8.3

0.7

$0.7$ と

0.1

$0.1$ をたし算します。

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

ステップ 1.8.4

0.8

$0.8$ と

0.2

$0.2$ をたし算します。

1

$1$

1

$1$

ステップ 1.9

各

x

$x$ に対して、

P (x)

$P (x)$ の確率は

0

$0$ と

1

$1$ の間になります。さらに、すべての可能な

x

$x$ に対する確率の和は

1

$1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての

x

$x$ 値について

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

特性2：

0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての

x

$x$ 値について

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

特性2：

0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2

$1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

0.2

$0.2$ に

1

$1$ をかけます。

0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2

$0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.2

3

$3$ に

0.2

$0.2$ をかけます。

0.2 + 0.6 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2

$0.2 + 0.6 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.3

5

$5$ に

0.3

$0.3$ をかけます。

0.2 + 0.6 + 1.5 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.4

8

$8$ に

0.1

$0.1$ をかけます。

0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 10 \cdot 0.2

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.5

10

$10$ に

0.2

$0.2$ をかけます。

0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2$

0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

0.2

$0.2$ と

0.6

$0.6$ をたし算します。

0.8 + 1.5 + 0.8 + 2

$0.8 + 1.5 + 0.8 + 2$

ステップ 4.2

0.8

$0.8$ と

1.5

$1.5$ をたし算します。

2.3 + 0.8 + 2

$2.3 + 0.8 + 2$

ステップ 4.3

2.3

$2.3$ と

0.8

$0.8$ をたし算します。

3.1 + 2

$3.1 + 2$

ステップ 4.4

3.1

$3.1$ と

2

$2$ をたし算します。

5.1

$5.1$

5.1

$5.1$

ステップ 5

分布の標準偏差は、分散を測定するもので、分散の平方根に等しいです。

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

ステップ 6

既知数を記入します。

\sqrt{{(1 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{{(1 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

- 1

$- 1$ に

5.1

$5.1$ をかけます。

\sqrt{{(1 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{{(1 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.2

1

$1$ から

5.1

$5.1$ を引きます。

\sqrt{{(- 4.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{{(- 4.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.3

- 4.1

$- 4.1$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{16.81 \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{16.81 \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.4

16.81

$16.81$ に

0.2

$0.2$ をかけます。

\sqrt{3.362 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.5

- 1

$- 1$ に

5.1

$5.1$ をかけます。

\sqrt{3.362 + {(3 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + {(3 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.6

3

$3$ から

5.1

$5.1$ を引きます。

\sqrt{3.362 + {(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + {(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.7

- 2.1

$- 2.1$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{3.362 + 4.41 \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 4.41 \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.8

4.41

$4.41$ に

0.2

$0.2$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.9

- 1

$- 1$ に

5.1

$5.1$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - 5.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - 5.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.10

5

$5$ から

5.1

$5.1$ を引きます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.11

- 0.1

$- 0.1$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.01 \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.01 \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.12

0.01

$0.01$ に

0.3

$0.3$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.13

- 1

$- 1$ に

5.1

$5.1$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - 5.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - 5.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.14

8

$8$ から

5.1

$5.1$ を引きます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.15

2.9

$2.9$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.16

8.41

$8.41$ に

0.1

$0.1$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.17

- 1

$- 1$ に

5.1

$5.1$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.18

10

$10$ から

5.1

$5.1$ を引きます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {4.9}^{2} \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {4.9}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.19

4.9

$4.9$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 24.01 \cdot 0.2}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 24.01 \cdot 0.2}$

ステップ 7.20

24.01

$24.01$ に

0.2

$0.2$ をかけます。

\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 4.802}

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.21

3.362

$3.362$ と

0.882

$0.882$ をたし算します。

\sqrt{4.244 + 0.003 + 0.841 + 4.802}

$\sqrt{4.244 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.22

4.244

$4.244$ と

0.003

$0.003$ をたし算します。

\sqrt{4.247 + 0.841 + 4.802}

$\sqrt{4.247 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.23

4.247

$4.247$ と

0.841

$0.841$ をたし算します。

\sqrt{5.088 + 4.802}

$\sqrt{5.088 + 4.802}$

ステップ 7.24

5.088

$5.088$ と

4.802

$4.802$ をたし算します。

\sqrt{9.89}

$\sqrt{9.89}$

\sqrt{9.89}

$\sqrt{9.89}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

\sqrt{9.89}

$\sqrt{9.89}$

10進法形式：

3.14483703 \dots

$3.14483703 \dots$

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