有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \\ 24 & 0.2 \\ 28 & 0.2 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.7

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

ステップ 1.9

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$ です。

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ステップ 1.9.1

$0.2$ と $0.1$ をたし算します。

$0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

ステップ 1.9.2

$0.3$ と $0.2$ をたし算します。

$0.5 + 0.1 + 0.2 + 0.2$

ステップ 1.9.3

$0.5$ と $0.1$ をたし算します。

$0.6 + 0.2 + 0.2$

ステップ 1.9.4

$0.6$ と $0.2$ をたし算します。

$0.8 + 0.2$

ステップ 1.9.5

$0.8$ と $0.2$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.10

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$10$ に $0.2$ をかけます。

$2 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3.2

$13$ に $0.1$ をかけます。

$2 + 1.3 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3.3

$17$ に $0.2$ をかけます。

$2 + 1.3 + 3.4 + 21 \cdot 0.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3.4

$21$ に $0.1$ をかけます。

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 24 \cdot 0.2 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3.5

$24$ に $0.2$ をかけます。

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 28 \cdot 0.2$

ステップ 3.6

$28$ に $0.2$ をかけます。

$2 + 1.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ と $1.3$ をたし算します。

$3.3 + 3.4 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

ステップ 4.2

$3.3$ と $3.4$ をたし算します。

$6.7 + 2.1 + 4.8 + 5.6$

ステップ 4.3

$6.7$ と $2.1$ をたし算します。

$8.8 + 4.8 + 5.6$

ステップ 4.4

$8.8$ と $4.8$ をたし算します。

$13.6 + 5.6$

ステップ 4.5

$13.6$ と $5.6$ をたし算します。

$19.2$

ステップ 5

分布の標準偏差は、分散を測定するもので、分散の平方根に等しいです。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

ステップ 6

既知数を記入します。

$\sqrt{{(10 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{{(10 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.2

$10$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{{(- 9.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.3

$- 9.2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{84.64 \cdot 0.2 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.4

$84.64$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + {(13 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.5

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + {(13 - 19.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.6

$13$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{16.928 + {(- 6.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.7

$- 6.2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.928 + 38.44 \cdot 0.1 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.8

$38.44$ に $0.1$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(17 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.9

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(17 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.10

$17$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + {(- 2.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.11

$- 2.2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 4.84 \cdot 0.2 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.12

$4.84$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {(21 - (19.2))}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.13

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {(21 - 19.2)}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.14

$21$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + {1.8}^{2} \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.15

$1.8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 3.24 \cdot 0.1 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.16

$3.24$ に $0.1$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {(24 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.17

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {(24 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.18

$24$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + {4.8}^{2} \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.19

$4.8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 23.04 \cdot 0.2 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.20

$23.04$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {(28 - (19.2))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.21

$- 1$ に $19.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {(28 - 19.2)}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.22

$28$ から $19.2$ を引きます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + {8.8}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.23

$8.8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 77.44 \cdot 0.2}$

ステップ 7.24

$77.44$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{16.928 + 3.844 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

ステップ 7.25

$16.928$ と $3.844$ をたし算します。

$\sqrt{20.772 + 0.968 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

ステップ 7.26

$20.772$ と $0.968$ をたし算します。

$\sqrt{21.74 + 0.324 + 4.608 + 15.488}$

ステップ 7.27

$21.74$ と $0.324$ をたし算します。

$\sqrt{22.064 + 4.608 + 15.488}$

ステップ 7.28

$22.064$ と $4.608$ をたし算します。

$\sqrt{26.672 + 15.488}$

ステップ 7.29

$26.672$ と $15.488$ をたし算します。

$\sqrt{42.16}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{42.16}$

10進法形式：

$6.49307323 \dots$

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