有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 3 & 0.2 \\ 5 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.7

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$ です。

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ステップ 1.8.1

$0.2$ と $0.2$ をたし算します。

$0.4 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8.2

$0.4$ と $0.3$ をたし算します。

$0.7 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.8.3

$0.7$ と $0.1$ をたし算します。

$0.8 + 0.2$

ステップ 1.8.4

$0.8$ と $0.2$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.9

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$0.2$ に $1$ をかけます。

$0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.2

$3$ に $0.2$ をかけます。

$0.2 + 0.6 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.3

$5$ に $0.3$ をかけます。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.4

$8$ に $0.1$ をかけます。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 10 \cdot 0.2$

ステップ 3.5

$10$ に $0.2$ をかけます。

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$0.2$ と $0.6$ をたし算します。

$0.8 + 1.5 + 0.8 + 2$

ステップ 4.2

$0.8$ と $1.5$ をたし算します。

$2.3 + 0.8 + 2$

ステップ 4.3

$2.3$ と $0.8$ をたし算します。

$3.1 + 2$

ステップ 4.4

$3.1$ と $2$ をたし算します。

$5.1$

ステップ 5

分布の標準偏差は、分散を測定するもので、分散の平方根に等しいです。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

ステップ 6

既知数を記入します。

$\sqrt{{(1 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $5.1$ をかけます。

$\sqrt{{(1 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.2

$1$ から $5.1$ を引きます。

$\sqrt{{(- 4.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.3

$- 4.1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16.81 \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.4

$16.81$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.5

$- 1$ に $5.1$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + {(3 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.6

$3$ から $5.1$ を引きます。

$\sqrt{3.362 + {(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.7

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.362 + 4.41 \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.8

$4.41$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.9

$- 1$ に $5.1$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - 5.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.10

$5$ から $5.1$ を引きます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.11

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.01 \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.12

$0.01$ に $0.3$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.13

$- 1$ に $5.1$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - 5.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.14

$8$ から $5.1$ を引きます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.15

$2.9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.16

$8.41$ に $0.1$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.17

$- 1$ に $5.1$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.18

$10$ から $5.1$ を引きます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {4.9}^{2} \cdot 0.2}$

ステップ 7.19

$4.9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 24.01 \cdot 0.2}$

ステップ 7.20

$24.01$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.21

$3.362$ と $0.882$ をたし算します。

$\sqrt{4.244 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.22

$4.244$ と $0.003$ をたし算します。

$\sqrt{4.247 + 0.841 + 4.802}$

ステップ 7.23

$4.247$ と $0.841$ をたし算します。

$\sqrt{5.088 + 4.802}$

ステップ 7.24

$5.088$ と $4.802$ をたし算します。

$\sqrt{9.89}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{9.89}$

10進法形式：

$3.14483703 \dots$

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