有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.7

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.9

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ です。

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ステップ 1.9.1

$0.4$ と $0.1$ をたし算します。

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.9.2

$0.5$ と $0.2$ をたし算します。

$0.7 + 0.1 + 0.2$

ステップ 1.9.3

$0.7$ と $0.1$ をたし算します。

$0.8 + 0.2$

ステップ 1.9.4

$0.8$ と $0.2$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.10

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$Expectation = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$0.4$ に $1$ をかけます。

$Expectation = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

ステップ 3.1.2

$5$ に $0.1$ をかけます。

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

ステップ 3.1.3

$8$ に $0.2$ をかけます。

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

ステップ 3.1.4

$0.1$ に $1$ をかけます。

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2$

ステップ 3.1.5

$14$ に $0.2$ をかけます。

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

ステップ 3.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0.4$ と $0.5$ をたし算します。

$Expectation = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

ステップ 3.2.2

$0.9$ と $1.6$ をたし算します。

$Expectation = 2.5 + 0.1 + 2.8$

ステップ 3.2.3

$2.5$ と $0.1$ をたし算します。

$Expectation = 2.6 + 2.8$

ステップ 3.2.4

$2.6$ と $2.8$ をたし算します。

$Expectation = 5.4$

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