有限数学例

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 3 & 0 & 1 4 & 3 & 0 & 3 1 & 2 & 2 & 4 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.9

The minor for

a_{14}

$a_{14}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

4

$4$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.10

Multiply element

a_{14}

$a_{14}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.11

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 2

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$ をかけます。

0 - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$ をかけます。

0 - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 4.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.1.9

Add the terms together.

0 - 3 (4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 4.2

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$ をかけます。

0 - 3 (4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

0 - 3 (4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

2

$2$ に

4

$4$ をかけます。

0 - 3 (4 (8 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 (8 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2.1.2

- 3

$- 3$ に

4

$4$ をかけます。

0 - 3 (4 (8 - 12) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 (8 - 12) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 (8 - 12) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 (8 - 12) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2.2

8

$8$ から

12

$12$ を引きます。

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2.1.2

- 1

$- 1$ に

2

$2$ をかけます。

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 2)) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 2)) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2.2

3

$3$ から

2

$2$ を引きます。

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$4$ に

$- 4$ をかけます。

$0 - 3 (- 16 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.1.2

$3$ に

$1$ をかけます。

$0 - 3 (- 16 + 0 + 3) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.2

$- 16$ と

$0$ をたし算します。

$0 - 3 (- 16 + 3) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.3

$- 16$ と

$3$ をたし算します。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ に

$3$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (6 - 2 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

ステップ 5.3.2.1.2

$- 2$ に

$2$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (6 - 4) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

ステップ 5.3.2.2

$6$ から

$4$ を引きます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + 0)$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$3$ に

$1$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 0)$

ステップ 5.4.2.1.2

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 0)$

ステップ 5.4.2.2

$3$ から

$2$ を引きます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 0)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (8 - 3 \cdot 1 + 0)$

ステップ 5.5.1.2

$- 3$ に

$1$ をかけます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (8 - 3 + 0)$

ステップ 5.5.2

$8$ から

$3$ を引きます。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (5 + 0)$

ステップ 5.5.3

$5$ と

$0$ をたし算します。

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 \cdot 5$

ステップ 6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 3$ に

$- 13$ をかけます。

$0 + 39 + 0 - 1 \cdot 5$

ステップ 6.1.2

$- 1$ に

$5$ をかけます。

$0 + 39 + 0 - 5$

ステップ 6.2

$0$ と

$39$ をたし算します。

$39 + 0 - 5$

ステップ 6.3

$39$ と

$0$ をたし算します。

$39 - 5$

ステップ 6.4

$39$ から

$5$ を引きます。

$34$

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有限数学 例

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