有限数学例

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{5}{4}$

ステップ 3

$f (- \frac{5}{4})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{5}{4}$ で置換えます。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{4}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.7

$5 (- \frac{5}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

ステップ 3.2.1.7.2

$- 5$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

ステップ 3.2.1.7.3

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

ステップ 3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{25}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{25}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

ステップ 3.2.2.3

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.6

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.7

$2$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 25$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.4.2

$- 6$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

ステップ 3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$25$ から $50$ を引きます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

ステップ 3.2.5.2

$- 25$ から $48$ を引きます。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

ステップ 3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{73}{8}$ です。

$- \frac{73}{8}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

ステップ 5

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