有限数学例

f (x) = 5 x^{3} + 6

$f (x) = 5 x^{3} + 6$

ステップ 1

f (x) = 5 x^{3} + 6

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ を方程式で書きます。

y = 5 x^{3} + 6

$y = 5 x^{3} + 6$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

x = 5 y^{3} + 6

$x = 5 y^{3} + 6$

ステップ 3

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を

5 y^{3} + 6 = x

$5 y^{3} + 6 = x$ として書き換えます。

5 y^{3} + 6 = x

$5 y^{3} + 6 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から

6

$6$ を引きます。

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$

ステップ 3.3

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$ の各項を

5

$5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$ の各項を

5

$5$ で割ります。

\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{3}$ を

$1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = \frac{x}{5} - \frac{6}{5}$

ステップ 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$

ステップ 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$ を

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ に

$\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ に

$\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt[3]{5}$ を

$1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.5.4.4

$1$ と

$2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

ステップ 3.5.4.5

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt[3]{5}$ を

$5^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.5.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.5.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と

$3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

ステップ 3.5.4.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

ステップ 3.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ を

$\sqrt[3]{5^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

ステップ 3.5.5.2

$5$ を

$2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{25}}{5}$

ステップ 3.5.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$

ステップ 3.5.6.2

$\frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

ステップ 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ が

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と

$f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に

$f$ の値を代入し、

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 6) - 6)}}{5}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$6$ から

$6$ を引きます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

ステップ 5.2.3.2

$5 x^{3}$ と

$0$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

ステップ 5.2.3.3

$25$ に

$5$ をかけます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

ステップ 5.2.3.4

$125 x^{3}$ を

${(5 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

ステップ 5.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.2.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に

$f^{- 1}$ の値を代入し、

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})}^{3} + 6$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

積の法則を

$\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}$ を

$25 (x - 6)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt[3]{25 (x - 6)}$ を

${(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と

$3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.3

$25$ に

$- 6$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 150}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.4

$25$ を

$25 x - 150$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

$25$ を

$25 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 150}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$25$ を

$- 150$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$25$ を

$25 x + 25 \cdot - 6$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

ステップ 5.3.3.3

$5$ を

$3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{125}) + 6$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$5$ を

$125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 (25)}) + 6$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 \cdot 25}) + 6$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

ステップ 5.3.3.5

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

ステップ 5.3.3.5.2

$x - 6$ を

$1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x - 6 + 6$

ステップ 5.3.4

$x - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 6$ と

$6$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と

$0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と

$f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ は

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

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