例

$x^{2} - 10 x + 9$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 9$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{2} - 10 \cdot 1 + 9$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 10 \cdot 1 + 9$

ステップ 4.1.2

$- 10$ に $1$ をかけます。

$1 - 10 + 9$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $10$ を引きます。

$- 9 + 9$

ステップ 4.2.2

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$- 10$	$9$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$- 10$	$9$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$
	$1$	$- 9$

ステップ 6.5

結果 $(- 9)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 9)$ の結果を被除数 $(9)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$	$- 9$
	$1$	$- 9$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$	$- 9$
	$1$	$- 9$	$0$

ステップ 6.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(1) x - 9$

ステップ 6.8

商の多項式を簡約します。

$x - 9$

ステップ 7

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 1) (x - 9)$

ステップ 9

多項式 $x^{2} - 10 x + 9$ の根（0）です。

$x = 1, 9$

ステップ 10

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