例

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $12$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{4 - 3}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{1}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 2)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 2)$

ステップ 6.4

楕円の2番目の交点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (2))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 2)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 1)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, 1)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (1))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - 1)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

ステップ 8.3.4

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

ステップ 8.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

偏心： $\frac{1}{2}$

ステップ 10

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