例

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

ステップ 1

点 $C = (- 2, 8, 9)$ と $D = (3, 0, 0)$ が与えられたとき、点 $A = (2, 6, - 8)$ と $B = (- 12, - 2, - 1)$ を含み、直線 $CD$ と平行な面を求めます。

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

ステップ 2

まず、点 $C$ と点 $D$ を通る直線の方向ベクトルを計算します。これは点 $C$ の座標の値をとり、点 $D$ から引き算することでできます。

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

ステップ 3

$x$ 、 $y$ 、および $z$ 値を置き換え、簡約し、線 $CD$ の方向ベクトル $V_{CD}$ を得ます。

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

ステップ 4

点 $A$ と点 $B$ を通る直線の方向ベクトルを同じ方法で計算します。

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

ステップ 5

$x$ 、 $y$ 、および $z$ 値を置き換え、簡約し、線 $AB$ の方向ベクトル $V_{AB}$ を得ます。

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

ステップ 6

解の平面は点 $A$ と $B$ を含み、方向ベクトル $V_{A B}$ をもつ線を含みます。この平面を直線 $C D$ に平行にするためには、直線 $C D$ の方向ベクトルにも直交する平面の法線ベクトルを求めます。行列 $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ の行列式を求めて、外積 $V_{A B}$ x $V_{C D}$ を求めることにより法線ベクトルを求めます。

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

ステップ 7

行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

最大の $0$ 要素を持つ行または列を選択します。 $0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行 $1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 7.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

ステップ 7.1.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

ステップ 7.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

ステップ 7.1.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.1.9

項同士を足します。

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$- 8$ に $- 9$ をかけます。

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2

$- (- 8 \cdot 7)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

$- 8$ に $7$ をかけます。

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 56$ をかけます。

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.2.2.2

$72$ と $56$ をたし算します。

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$- 14$ に $- 9$ をかけます。

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.1.2

$- 5$ に $7$ をかけます。

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.3.2.2

$126$ から $35$ を引きます。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

ステップ 7.4

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

ステップ 7.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.2.1.1

$- 14$ に $- 8$ をかけます。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

ステップ 7.4.2.1.2

$- 5$ に $- 8$ をかけます。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

ステップ 7.4.2.2

$112$ と $40$ をたし算します。

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$128$ を $i$ の左に移動させます。

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

ステップ 7.5.2

$- 1$ に $91$ をかけます。

$128 i - 91 j + 152 k$

ステップ 8

平面上にある点 $A$ における式 $(128) x + (- 91) y + (152) z$ を解きます。平面の方程式で定数を計算するために利用します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$128$ に $2$ をかけます。

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

ステップ 8.1.2

$- 91$ に $6$ をかけます。

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

ステップ 8.1.3

$152$ に $- 8$ をかけます。

$256 - 546 - 1216$

ステップ 8.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 8.2.1

$256$ から $546$ を引きます。

$- 290 - 1216$

ステップ 8.2.2

$- 290$ から $1216$ を引きます。

$- 1506$

ステップ 9

定数を加えて、 $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ になる平面の方程式を求めます。

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

ステップ 10

$152$ に $z$ をかけます。

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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