微分積分例

\int \sqrt{9 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

ステップ 1

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に

x = 3 sin (t)

$x = 3 \sin (t)$ とします。次に

d x = 3 cos (t) d t

$d x = 3 \cos (t) d t$ 。

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、

3 cos (t)

$3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

\int \sqrt{9 - {(3 sin (t))}^{2}} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

\sqrt{9 - {(3 sin (t))}^{2}}

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を

3 sin (t)

$3 \sin (t)$ に当てはめます。

\int \sqrt{9 - (3^{2} {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

3

$3$ を

2

$2$ 乗します。

\int \sqrt{9 - (9 {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

9

$9$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\int \sqrt{9 - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

\int \sqrt{9 - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

9

$9$ を

9

$9$ で因数分解します。

\int \sqrt{9 (1) - 9 {sin}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

9

$9$ を

- 9 {sin}^{2} (t)

$- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

\int \sqrt{9 (1) + 9 (- {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

9

$9$ を

9 (1) + 9 (- {sin}^{2} (t))

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

\int \sqrt{9 (1 - {sin}^{2} (t))} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

\int \sqrt{9 {cos}^{2} (t)} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

9 {cos}^{2} (t)

$9 \cos^{2} (t)$ を

{(3 cos (t))}^{2}

${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

\int \sqrt{{(3 cos (t))}^{2}} (3 cos (t)) d t

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

\int 3 cos (t) (3 cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

\int 3 cos (t) (3 cos (t)) d t

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

3

$3$ に

3

$3$ をかけます。

\int 9 cos (t) cos (t) d t

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

cos (t)

$\cos (t)$ を

1

$1$ 乗します。

\int 9 ({cos}^{1} (t) cos (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.3

cos (t)

$\cos (t)$ を

1

$1$ 乗します。

\int 9 ({cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t)) d t

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\int 9 {cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.5

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

\int 9 {cos}^{2} (t) d t

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

9

$9$ は

t

$t$ に対して定数なので、

9

$9$ を積分の外に移動させます。

9 \int {cos}^{2} (t) d t

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ を

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

9 \int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

t

$t$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

9 (\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t)

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

9

$9$ をまとめます。

\frac{9}{2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

\frac{9}{2} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

u = 2 t

$u = 2 t$ とします。次に

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ すると、

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

u = 2 t

$u = 2 t$ とします。

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

2 t

$2 t$ を微分します。

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

2

$2$ は

t

$t$ に対して定数なので、

t

$t$ に対する

2 t

$2 t$ の微分係数は

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

2

$2$

2

$2$

ステップ 9.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{9}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

cos (u)

$\cos (u)$ と

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 12

cos (u)

$\cos (u)$ の

u

$u$ に関する積分は

sin (u)

$\sin (u)$ です。

\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

t

$t$ のすべての発生を

arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14.2

u

$u$ のすべての発生を

2 t

$2 t$ で置き換えます。

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 14.3

t

$t$ のすべての発生を

arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))) + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ をまとめます。

\frac{9}{2} ⎛ ⎜ ⎝ arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2} ⎞ ⎟ ⎠ + C

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

\frac{9}{2} arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 15.3

\frac{9}{2}

$\frac{9}{2}$ と

arcsin (\frac{x}{3})

$\arcsin (\frac{x}{3})$ をまとめます。

\frac{9 arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 15.4

\frac{9}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2}

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 15.4.1

\frac{9}{2}

$\frac{9}{2}$ に

\frac{sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ をかけます。

\frac{9 arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 15.4.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{9 arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

\frac{9 arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

\frac{9 arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

\frac{9}{2} arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)) + C

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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