微分積分例

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 7

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 12.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 12.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (x))$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

ステップ 13.3

$\frac{1}{2}$ と $\arcsin (x)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

ステップ 13.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 13.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 13.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

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