微分積分例

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に

$x = 3 \sin (t)$ とします。次に

$d x = 3 \cos (t) d t$ 。

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、

$3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を

$3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を

$2$ 乗します。

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$9$ に

$- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を

$9$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を

$- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を

${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ に

$3$ をかけます。

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を

$1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.3

$\cos (t)$ を

$1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$9$ は

$t$ に対して定数なので、

$9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して

$\cos^{2} (t)$ を

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は

$t$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と

$9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$u = 2 t$ とします。次に

$d u = 2 d t$ すると、

$\frac{1}{2} d u = d t$ です。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = 2 t$ とします。

$\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は

$t$ に対して定数なので、

$t$ に対する

$2 t$ の微分係数は

$2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は

$n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に

$1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u$ と

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は

$u$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ の

$u$ に関する積分は

$\sin (u)$ です。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$t$ のすべての発生を

$\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14.2

$u$ のすべての発生を

$2 t$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 14.3

$t$ のすべての発生を

$\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 15.3

$\frac{9}{2}$ と

$\arcsin (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 15.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 15.4.1

$\frac{9}{2}$ に

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 15.4.2

$2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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微分積分 例

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