微分積分例

\int x e^{2 x} d x

$\int x e^{2 x} d x$

ステップ 1

u = x

$u = x$ と

d v = e^{2 x}

$d v = e^{2 x}$ ならば、公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

e^{2 x}

$e^{2 x}$ をまとめます。

x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 2.2

x

$x$ と

\frac{e^{2 x}}{2}

$\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

x

$x$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4

u = 2 x

$u = 2 x$ とします。次に

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ すると、

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

u = 2 x

$u = 2 x$ とします。

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

2 x

$2 x$ を微分します。

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x

$2 x$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

2

$2$

2

$2$

ステップ 4.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

e^{u}

$e^{u}$ と

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をかけます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 7.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 8

e^{u}

$e^{u}$ の

u

$u$ に関する積分は

e^{u}

$e^{u}$ です。

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 9

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 10

u

$u$ のすべての発生を

2 x

$2 x$ で置き換えます。

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

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