微分積分例

$\int x \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

ステップ 6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

ステップ 6.3

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

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