微分積分例

$\int x e^{2 x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 9

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

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