微分積分例

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

ステップ 1

$x^{3} + x$ を $x^{3} - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 + 0 - 1$ の符号をすべて変更します。

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

ステップ 4.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 4.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

ステップ 4.1.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1}$

ステップ 4.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.6

$x^{2} + x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.6.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7.1.2

$(A) (x^{2} + x + 1)$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7.3

$A$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7.4

$x^{2} + x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.1.7.4.2

$(B x + C) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

ステップ 4.1.7.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.5.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

ステップ 4.1.7.5.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

ステップ 4.1.7.5.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 4.1.7.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.6.1.1

$x$ を移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 4.1.7.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 4.1.7.6.2

$- 1$ を $B x$ の左に移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

ステップ 4.1.7.6.3

$- 1 (B x)$ を $- (B x)$ に書き換えます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

ステップ 4.1.7.6.4

$- 1$ を $C$ の左に移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

ステップ 4.1.7.6.5

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

ステップ 4.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

ステップ 4.1.8.2

$B$ を移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

ステップ 4.1.8.3

$A$ を移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

ステップ 4.1.8.4

$A x$ を移動させます。

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A - 1 B + C$

ステップ 4.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$1 = A - 1 B + C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$(- B) - 1 B + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$- B$ から $B$ を引きます。

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

ステップ 4.3.2.3

$1 = A - 1 C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 4.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 4.3.3

$1 = - 2 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

方程式を $- 2 B + C = 1$ として書き換えます。

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

ステップ 4.3.3.2

方程式の両辺に $2 B$ を足します。

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

ステップ 4.3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $1 + 2 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$1 = - B - C$ の $C$ のすべての発生を $1 + 2 B$ で置き換えます。

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$- B - (1 + 2 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.4.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.4.2.1.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.4.2.1.2

$- B$ から $2 B$ を引きます。

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5

$1 = - 3 B - 1$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

方程式を $- 3 B - 1 = 1$ として書き換えます。

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.3

$- 3 B = 2$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

$- 3 B = 2$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 4.3.6

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{2}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$C = 1 + 2 B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{2}{3}$ で置き換えます。

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1

$1 + 2 (- \frac{2}{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.1.1

$2 (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.1.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.1.1.2

$- 2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.1.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.2.3

$3$ から $4$ を引きます。

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.2.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

ステップ 4.3.6.3

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{2}{3}$ で置き換えます。

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.1

$- (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.6.4.1.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

ステップ 4.3.7

すべての解をまとめます。

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

ステップ 4.4

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 4.5.1.2

まとめる。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.4.1

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.4.2.1

$- \frac{x \cdot 2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.5.5.1

$3$ を $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.5.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.5.1.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

ステップ 4.5.5.1.3

$3$ を $3 \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

ステップ 4.5.5.1.4

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

ステップ 4.5.5.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.5.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.5.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.5.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.5.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.5.5.1

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.5.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4.5.7

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 7

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

ステップ 11

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ とします。次に $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$x^{2} + x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 11.1.2

総和則では、 $x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 1 + 0$

ステップ 11.1.6

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 1$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + x + 1$ で置き換えます。

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

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