微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.1.1.1.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}$

ステップ 1.1.1.1.3

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.1.4

$x$ を $x (2 x^{2}) + x (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.1.5

$x$ を $x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x - 2)}$

ステップ 1.1.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 (x) - 2)}$

ステップ 1.1.1.2.1.1.2

$3$ を $- 1$ プラス $4$ に書き換える

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)}$

ステップ 1.1.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)}$

ステップ 1.1.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)}$

ステップ 1.1.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))}$

ステップ 1.1.1.2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x - 1) (x + 2))}$

ステップ 1.1.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (2 x - 1) (x + 2)$ です。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.6

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.7

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.7.2

$x^{2} + 2 x - 1$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A ((2 x - 1) (x + 2))$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 2 x - 1 = A ((2 x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.3.2

$4 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 3 x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.4

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2}) + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.5.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.6

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.6.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + \frac{B (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.6.2

$(B) (x (x + 2))$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.8

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.9

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.10

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.12

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.12.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.8.12.2

$(C) (x (2 x - 1))$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (2 x - 1))$

ステップ 1.1.8.13

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x (2 x) + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.8.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.8.15

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

ステップ 1.1.8.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.16.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.16.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

ステップ 1.1.8.16.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

ステップ 1.1.8.16.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - x)$

ステップ 1.1.8.17

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2}) + C (- x)$

ステップ 1.1.8.18

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} + C (- x)$

ステップ 1.1.8.19

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$A$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.2

$A$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.3

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.4

$B$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.9.5

$- 2 A$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x - 2 A$

ステップ 1.1.9.6

$2 x B$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

ステップ 1.1.9.7

$3 x A$ を移動させます。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 3 x A + 2 x B - C x - 2 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 2 A + B + 2 C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = - 2 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1 = - 2 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 2 A = - 1$ として書き換えます。

$- 2 A = - 1$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2

$- 2 A = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$- 2 A = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = 2 A + B + 2 C$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

ステップ 1.3.2.3

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$2 = 3 (\frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.2.4.1.2

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3

$1 = 1 + B + 2 C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $1 + B + 2 C = 1$ として書き換えます。

$1 + B + 2 C = 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B + 2 C = 1 - 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3.2.2

方程式の両辺から $2 C$ を引きます。

$B = 1 - 1 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$B = 0 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3.2.4

$0$ から $2 C$ を引きます。

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 2 C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$ の $B$ のすべての発生を $- 2 C$ で置き換えます。

$2 = \frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$\frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 = \frac{3}{2} - 4 C - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$- 4 C$ から $C$ を引きます。

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $\frac{3}{2} - 5 C = 2$ として書き換えます。

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

方程式の両辺から $\frac{3}{2}$ を引きます。

$- 5 C = 2 - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 5 C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- 5 C = \frac{4 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.2.5.2

$4$ から $3$ を引きます。

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3

$- 5 C = \frac{1}{2}$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

$- 5 C = \frac{1}{2}$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$C = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{5})$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.3.3

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$C = - \frac{1}{2 \cdot 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5.3.3.3.2

$2$ に $5$ をかけます。

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $- \frac{1}{10}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$B = - 2 C$ の $C$ のすべての発生を $- \frac{1}{10}$ で置き換えます。

$B = - 2 (- \frac{1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$- 2 (- \frac{1}{10})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1.1

$- \frac{1}{10}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$B = - 2 (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$B = 2 (- 1) (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.1.3

$2$ を $10$ で因数分解します。

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.1.5

式を書き換えます。

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = - 1 (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.3

$- 1 (- \frac{1}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$B = 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.6.2.1.3.2

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{5}, C = - \frac{1}{10}, A = \frac{1}{2}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

ステップ 1.5.4

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{2 x - 1}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

ステップ 1.5.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2}$

ステップ 1.5.6

$\frac{1}{x + 2}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 10}$

ステップ 1.5.7

$10$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 6

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 7.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 9.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

ステップ 13

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 13.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 13.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 13.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 13.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 13.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| x + 2 |) + C$

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微分積分 例

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