微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 1

$x^{2} + 1$ を $x^{2} - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 1.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 - 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
									+	$2$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

ステップ 5

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 5.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 5.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 5.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.1.7.5.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

ステップ 5.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

ステップ 5.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A x - A + B x + B$

ステップ 5.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - A + B$

ステップ 5.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 5.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A + B$

ステップ 5.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 5.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 5.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 5.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

ステップ 5.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

ステップ 5.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

ステップ 5.3.3

$1 = 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

方程式を $2 B = 1$ として書き換えます。

$2 B = 1$

$A = - B$

ステップ 5.3.3.2

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 5.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 5.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 5.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 5.5.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 5.5.3

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 5.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

ステップ 5.5.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

ステップ 9

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 12

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 12.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 12.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

ステップ 14

簡約します。

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

ステップ 16.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x - 1 |)$ をまとめます。

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

ステップ 16.2

公分母の分子をまとめます。

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

ステップ 16.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

共通因数を約分します。

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

ステップ 16.3.2

式を書き換えます。

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

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