微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

ステップ 1

級数が収束するかどうかを判別するには、数列の積分が収束するかどうかを判別します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

ステップ 4.2

括弧を削除します。

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 4.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

ステップ 5

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\infty$

ステップ 6

積分が発散するので、級数は発散します。

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