微分積分例

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

ステップ 1

級数が収束するかどうかを判別するには、数列の積分が収束するかどうかを判別します。

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

t

$t$ が

\infty

$\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3

1

$1$ を

1^{2}

$1^{2}$ に書き換えます。

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の

x

$x$ に関する積分は

\arctan (x)]_{1}^{t}

$\arctan (x)]_{1}^{t}$ です。

lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

t

$t$ および

1

$1$ で

\arctan (x)

$\arctan (x)$ の値を求めます。

lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

ステップ 5.2

括弧を削除します。

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

t

$t$ が

\infty

$\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

ステップ 6.2

t

$t$ が

\infty

$\infty$ に近づくときの極限は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ です。

\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

ステップ 6.3

t

$t$ が

\infty

$\infty$ に近づくと定数である

\arctan (1)

$\arctan (1)$ の極限値を求めます。

\frac{π}{2} - \arctan (1)

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

ステップ 6.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

\arctan (1)

$\arctan (1)$ の厳密値は

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ です。

\frac{π}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.2

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.3

1

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

4

$4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ に

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をかけます。

\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.3.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.4

公分母の分子をまとめます。

\frac{π \cdot 2 - π}{4}

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

ステップ 6.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.5.1

2

$2$ を

π

$π$ の左に移動させます。

\frac{2 \cdot π - π}{4}

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

ステップ 6.4.5.2

2 π

$2 π$ から

π

$π$ を引きます。

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

ステップ 7

積分が収束するので、級数は収束します。

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