微分積分例

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

ステップ 1

関数が総和の境界上で連続しているか確認します。

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ステップ 1.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${k | k \in ℝ}$

ステップ 1.2

$f (k)$ は $[1, \infty)$ で連続します。

$関数は連続です。$

ステップ 2

境界上で関数が正か確認します。

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ステップ 2.1

不等式を設定します。

$k e^{k^{2}} > 0$

ステップ 2.2

不等式を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

ステップ 2.2.2

$k$ が $0$ に等しいとします。

$k = 0$

ステップ 2.2.3

$e^{k^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $k$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$e^{k^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{k^{2}} = 0$

ステップ 2.2.3.2

$k$ について $e^{k^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.3.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.3.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.4

最終解は $k e^{k^{2}} > 0$ を真にするすべての値です。

$k = 0$

ステップ 2.2.5

解はすべての真の区間からなります。

$k > 0$

ステップ 3

関数が減少しているところを判定します。

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ステップ 3.1

$k e^{k^{2}}$ を関数で書きます。

$f (k) = k e^{k^{2}}$

ステップ 3.2

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$f (k) = k$ および $g (k) = e^{k^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ は $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.2

$f (k) = e^{k}$ および $g (k) = k^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ は $f' (g (k)) g' (k)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $k^{2}$ とします。

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.2.3

$u$ のすべての発生を $k^{2}$ で置き換えます。

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.4

$k$ を $1$ 乗します。

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.5

$k$ を $1$ 乗します。

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.7

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.7.2

$2$ を $e^{k^{2}}$ の左に移動させます。

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

ステップ 3.2.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

ステップ 3.2.1.9

$e^{k^{2}}$ に $1$ をかけます。

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

ステップ 3.2.1.10

簡約します。

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ステップ 3.2.1.10.1

項を並べ替えます。

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

ステップ 3.2.1.10.2

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

ステップ 3.2.2

$k$ に関する $f (k)$ の一次導関数は $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ です。

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

ステップ 3.3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

ステップ 3.3.2

$e^{k^{2}}$ を $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$e^{k^{2}}$ を $2 k^{2} e^{k^{2}}$ で因数分解します。

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

ステップ 3.3.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

ステップ 3.3.2.3

$e^{k^{2}}$ を $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

ステップ 3.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.3.4

$e^{k^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $k$ を解きます。

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ステップ 3.3.4.1

$e^{k^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{k^{2}} = 0$

ステップ 3.3.4.2

$k$ について $e^{k^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 3.3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.3.4.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.3.5

$2 k^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $k$ を解きます。

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ステップ 3.3.5.1

$2 k^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 k^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.3.5.2

$k$ について $2 k^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 k^{2} = - 1$

ステップ 3.3.5.2.2

$2 k^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.1

$2 k^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.5.2.2.2.1.2

$k^{2}$ を $1$ で割ります。

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 3.3.5.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.3.5.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.6

最終解は $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $k$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 3.5

微分係数 $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (k) = k e^{k^{2}}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 3.6

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 3.6.1

式の変数 $k$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2.1.4

簡約します。

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 2 e + e$

ステップ 3.6.2.1.6

簡約します。

$f' (1) = 2 e + e$

ステップ 3.6.2.2

$2 e$ と $e$ をたし算します。

$f' (1) = 3 e$

ステップ 3.6.2.3

最終的な答えは $3 e$ です。

$3 e$

ステップ 3.7

$1$ を $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ に代入した結果は $3 e$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 3.8

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

$常に増加$

ステップ 4

関数は必ずしも $1$ から $\infty$ へ減少しないので、積分判定法は当てはまりません。

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