微分積分例

$135$ , $45$ , $15$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

等比数列の形です。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

ステップ 3

$a_{1} = 135$ と $r = \frac{1}{3}$ の値に代入します。

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 4

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

ステップ 6

$135$ と $\frac{1}{3^{n - 1}}$ をまとめます。

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

ステップ 7

等比数列の1番目 $n$ 項の和を求める公式です。値を求めるには、 $r$ と $a_{1}$ の値を求めます。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

ステップ 8

変数を既知の値で置き換え、 $S_{5}$ を求めます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.2

1のすべての数の累乗は1です。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.3

$3$ を $5$ 乗します。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{243}{243}$ を掛けます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.5

$- 1$ と $\frac{243}{243}$ をまとめます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.6

公分母の分子をまとめます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.7

分子を簡約します。

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ステップ 9.7.1

$- 1$ に $243$ をかけます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.7.2

$1$ から $243$ を引きます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.8

分数の前に負数を移動させます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 10.2

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 10.3

公分母の分子をまとめます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

ステップ 10.4.2

$1$ から $3$ を引きます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 10.5

分数の前に負数を移動させます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 11

2つの負の値を割ると正の値になります。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

ステップ 12

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $242$ で因数分解します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

ステップ 14

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$3$ を $243$ で因数分解します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

ステップ 15

$27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

$27$ を $135$ で因数分解します。

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

ステップ 15.2

$27$ を $81$ で因数分解します。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

ステップ 15.3

共通因数を約分します。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

ステップ 15.4

式を書き換えます。

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

ステップ 16

$5$ と $\frac{121}{3}$ をまとめます。

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

ステップ 17

$5$ に $121$ をかけます。

$S_{5} = \frac{605}{3}$

ステップ 18

分数を小数に変換します。

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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