微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

ステップ 1

無限級数 $\sum_{}^{} a_{n}$ に対して、コーシーの収束判定法を用いて収束を判断するための極限 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ を求めます。

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

ステップ 2

$a_{n}$ に代入します。

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

指数を絶対値の中に移動します。

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

ステップ 3.2

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

ステップ 3.2.2

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

ステップ 3.3

簡約します。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

極限を絶対値記号の中に移動させます。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

ステップ 4.2

分子と分母を分母の $n$ の最大べき乗で割ると、 $n^{3}$ です。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3

極限を求めます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$n$ と $n^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$n$ を $2 n$ で因数分解します。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.2.1

$n$ を $n^{3}$ で因数分解します。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.1.2

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.2

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

共通因数を約分します。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.3

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.4

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.3.5

$2$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.5

極限を求めます。

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ステップ 4.5.1

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.5.2

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.5.3

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

ステップ 4.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

ステップ 4.7

答えを簡約します。

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ステップ 4.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

ステップ 4.7.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

ステップ 4.7.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$L = | \frac{1}{5} |$

ステップ 4.7.3

$\frac{1}{5}$ は約 $0.2$ 。正の数なので絶対値を削除します

$L = \frac{1}{5}$

ステップ 4.8

$1$ を $5$ で割ります。

$L = 0.2$

ステップ 5

$L < 1$ の場合、級数は絶対的に収束します。 $L > 1$ の場合、級数は発散しています。 $L = 1$ の場合、判定の結論は出ません。この場合、 $L < 1$ となります。

級数は $[1, \infty)$ に収束します。

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