微分積分例

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

ステップ 1

無限級数 $\sum_{}^{} a_{n}$ に対して、コーシーの収束判定法を用いて収束を判断するための極限 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ を求めます。

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

ステップ 2

$a_{n}$ に代入します。

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

指数を絶対値の中に移動します。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

ステップ 3.2

積の法則を $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ に当てはめます。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 3.3

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 3.3.2

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 3.4

指数を求めます。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.1

極限を絶対値記号の中に移動させます。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 4.1.2

$- 2$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 4.1.3

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 4.1.4

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$n^{\frac{1}{n}}$ を $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ に書き換えます。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{n}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ を展開します。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

ステップ 4.3

極限を求めます。

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ステップ 4.3.1

指数に極限を移動させます。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{n}$ と $\ln (n)$ をまとめます。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

ステップ 4.4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

ステップ 4.4.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

ステップ 4.4.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

ステップ 4.4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

ステップ 4.4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.4.3.1

分母と分子を微分します。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

ステップ 4.4.3.2

$n$ に関する $\ln (n)$ の微分係数は $\frac{1}{n}$ です。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

ステップ 4.4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

ステップ 4.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

ステップ 4.4.5

$\frac{1}{n}$ に $1$ をかけます。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

ステップ 4.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n}$ は $0$ に近づきます。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

ステップ 4.6

答えを簡約します。

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ステップ 4.6.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

ステップ 4.6.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

共通因数を約分します。

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

ステップ 4.6.2.2

式を書き換えます。

$L = | - 2 \cdot 1 |$

ステップ 4.6.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$L = | - 2 |$

ステップ 4.6.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$L = 2$

ステップ 5

$L < 1$ の場合、級数は絶対的に収束します。 $L > 1$ の場合、級数は発散しています。 $L = 1$ の場合、判定の結論は出ません。この場合、 $L > 1$ となります。

級数は $[0, \infty)$ に発散します。

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