微分積分例

$\int x {(x^{2} - 1)}^{8} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} - 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{8} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{8}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{8}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{8} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{8}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{9} u^{9}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 9} u^{9} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{18} u^{9} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} {(x^{2} - 1)}^{9} + C$

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