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微分積分例

\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x

$\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x$

ステップ 1

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ とします。次に

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ すると、

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ とします。

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ を微分します。

\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 x + \frac{d}{d x} [- 1]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

- 1

$- 1$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

- 1

$- 1$ の微分係数は

0

$0$ です。

2 x + 0

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

2 x

$2 x$ と

0

$0$ をたし算します。

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

ステップ 1.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

\int u^{6} \frac{1}{2} d u

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

\int u^{6} \frac{1}{2} d u

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

u^{6}

$u^{6}$ と

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

\int \frac{u^{6}}{2} d u

$\int \frac{u^{6}}{2} d u$

ステップ 3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

\frac{1}{2} \int u^{6} d u

$\frac{1}{2} \int u^{6} d u$

ステップ 4

べき乗則では、

u^{6}

$u^{6}$ の

u

$u$ に関する積分は

\frac{1}{7} u^{7}

$\frac{1}{7} u^{7}$ です。

\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ を

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ に書き換えます。

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ に

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ をかけます。

\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C

$\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C$

ステップ 5.2.2

2

$2$ に

7

$7$ をかけます。

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

\frac{1}{14} u^{7} + C

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

ステップ 6

u

$u$ のすべての発生を

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ で置き換えます。

\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C

$\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C$

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$