微分積分例

$x^{2} - 5 x + 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 5 x + 3$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 3$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 5}{2}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 3 - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{12 - 25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$12$ から $25$ を引きます。

$e = \frac{- 13}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{13}{4}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$ に代入します。

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{13}{4}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{5}{2}, - 3)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{7}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

方向：上に開

頂点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3$

ステップ 2.2.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 5 + 3$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$1$ から $5$ を引きます。

$f (1) = - 4 + 3$

ステップ 2.2.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = - 1$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 2.3

$x = 1$ における $y$ 値は $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3$

ステップ 2.5.1.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 3$

ステップ 2.5.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 3$

ステップ 2.5.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (0) = 3$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 2.6

$x = 0$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3$

ステップ 2.8.1.2

$- 5$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 9 - 15 + 3$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$9$ から $15$ を引きます。

$f (3) = - 6 + 3$

ステップ 2.8.2.2

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f (3) = - 3$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 2.9

$x = 3$ における $y$ 値は $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3$

ステップ 2.11.1.2

$- 5$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 16 - 20 + 3$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$16$ から $20$ を引きます。

$f (4) = - 4 + 3$

ステップ 2.11.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$f (4) = - 1$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 2.12

$x = 4$ における $y$ 値は $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

対称軸： $x = \frac{5}{2}$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

ステップ 4

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微分積分 例

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