微分積分例

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 {(x - 1)}^{2} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int {(x - 1)}^{2} d x$

ステップ 4

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int u^{2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 6.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

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