微分積分例

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

ステップ 1

$y = 3 x^{2} + 3 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

ステップ 2

与えられた点が与えられた関数のグラフ上にあるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 1$ における $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

ステップ 2.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 3 (1)$

ステップ 2.1.2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 3$

ステップ 2.1.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = 6$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.2

$6 = 6$ なので、点はグラフ上にあります。

点はグラフ上にあります

ステップ 3

接線の傾きは式の微分係数です。

$m$ $=$ は $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ の微分係数

ステップ 4

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 5

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

ステップ 5.1.2.2

最終的な答えは $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ です。

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

ステップ 5.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x$ を移動させます。

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

ステップ 5.2.2

$3 x^{2}$ を移動させます。

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

ステップ 5.2.3

$6 h x$ と $3 h^{2}$ を並べ替えます。

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

ステップ 5.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

ステップ 6

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

ステップ 7.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

ステップ 7.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

ステップ 7.1.4

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

ステップ 7.1.5

$3 h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

ステップ 7.1.6

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

ステップ 7.1.7

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.8

$3 h$ を $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1

$3 h$ を $3 h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.8.2

$3 h$ を $6 h x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.8.3

$3 h$ を $3 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

ステップ 7.1.8.4

$3 h$ を $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

ステップ 7.1.8.5

$3 h$ を $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

ステップ 7.2

項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

ステップ 7.2.1.2

$3 (h + 2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

ステップ 7.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

ステップ 7.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

ステップ 7.4

$3 h$ と $6 x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

ステップ 8.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $6 x$ の極限値を求めます。

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

ステップ 8.3

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

ステップ 8.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

ステップ 9

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$3$ に $0$ をかけます。

$6 x + 0 + 3$

ステップ 10.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x + 3$

ステップ 11

$6 (1) + 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$6$ に $1$ をかけます。

$m = 6 + 3$

ステップ 11.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$m = 9$

ステップ 12

傾きは $m = 9$ で、点は $(1, 6)$ です。

$m = 9, (1, 6)$

ステップ 13

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 13.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (9) \cdot x + b$

ステップ 13.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (9) \cdot (1) + b$

ステップ 13.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$6 = (9) \cdot (1) + b$

ステップ 13.5

$b$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

方程式を $(9) \cdot (1) + b = 6$ として書き換えます。

$(9) \cdot (1) + b = 6$

ステップ 13.5.2

$9$ に $1$ をかけます。

$9 + b = 6$

ステップ 13.5.3

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$b = 6 - 9$

ステップ 13.5.3.2

$6$ から $9$ を引きます。

$b = - 3$

ステップ 14

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = 9 x - 3$

ステップ 15

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