微分積分例

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

微分します。

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ステップ 1.3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.3.2.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 e^{2 x}$

ステップ 2

$y''$ を求めます。

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ステップ 2.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 2.8

$4$ に $1$ をかけます。

$y'' = 4 e^{2 x}$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

ステップ 4

$2 e^{2 x}$ と $4 e^{2 x}$ をたし算します。

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

ステップ 5

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = e^{2 x}$ は $y' + y'' = 6 e^{2 x}$ の解です

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