微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ , $(1, 1)$

ステップ 1

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ と仮定します。

ステップ 2

$(1, 1)$ の近辺で関数が連続か確認します。

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ステップ 2.1

$(1, 1)$ 値を $\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ に代入します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

ステップ 2.1.2

$1$ を $y$ に代入します。

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 2.2

負または0の独立変数をもつ対数、0または負の根号をもつ偶数根、および分母に0をもつ分数がないので、関数は $(1, 1)$ の $x$ 値の周りの開区間で連続です。

連続

ステップ 3

$y$ について部分微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

部分微分係数を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

ステップ 3.2

$2 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x^{2} y^{2}$ の微分係数は $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

ステップ 3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

ステップ 4

$y$ について部分微分係数が $(1, 1)$ の近辺で関数が連続か確認します。

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ステップ 4.1

$1$ を $y$ に代入します。

$4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.2

負または0の独立変数をもつ対数、0または負の根号をもつ偶数根、および分母に0をもつ分数がないので、関数は $(1, 1)$ の $y$ 値の周りの開区間で連続です。

連続

ステップ 5

関数と $y$ についてその部分微分係数は、 $(1, 1)$ の $x$ 値の周りの開区間で連続です。

一意解1つ

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