微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

ステップ 1

$P (x) = \tan (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \tan (x) d x}$

ステップ 1.2

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\sec (x))}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec (x)$

ステップ 2

各項に積分因数 $\sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $\sec (x)$ を掛けます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

ステップ 2.2

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

ステップ 2.3

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

ステップ 6

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

ステップ 7

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ の各項を $\sec (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ の各項を $\sec (x)$ で割ります。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

分数を分解します。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.5

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ を $1$ で割ります。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.6

分数を分解します。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

ステップ 7.3.1.9

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

ステップ 7.3.1.10

$C$ を $1$ で割ります。

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

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