微分積分例

\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

ステップ 1

P (x) = \tan (x)

$P (x) = \tan (x)$ のとき、積分因数は公式

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

e^{\int \tan (x) d x}

$e^{\int \tan (x) d x}$

ステップ 1.2

\tan (x)

$\tan (x)$ の

x

$x$ に関する積分は

\ln (| \sec (x) |)

$\ln (| \sec (x) |)$ です。

e^{\ln (| \sec (x) |) + C}

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

e^{\ln (\sec (x))}

$e^{\ln (\sec (x))}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

\sec (x)

$\sec (x)$

\sec (x)

$\sec (x)$

ステップ 2

各項に積分因数

\sec (x)

$\sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に

\sec (x)

$\sec (x)$ を掛けます。

\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

ステップ 2.2

\sec (x)

$\sec (x)$ に

1

$1$ をかけます。

\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

ステップ 2.3

\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ の因数を並べ替えます。

\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

\sec (x) y = \int \sec (x) d x

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

ステップ 6

\sec (x)

$\sec (x)$ の

x

$x$ に関する積分は

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

ステップ 7

\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ の各項を

\sec (x)

$\sec (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ の各項を

\sec (x)

$\sec (x)$ で割ります。

\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

\sec (x)

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.2.1.2

y

$y$ を

1

$1$ で割ります。

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

分数を分解します。

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.2

正弦と余弦に関して

\sec (x)

$\sec (x)$ を書き換えます。

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.3

分数の逆数を掛け、

\frac{1}{\cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.4

\cos (x)

$\cos (x)$ に

1

$1$ をかけます。

y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.5

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ を

1

$1$ で割ります。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.6

分数を分解します。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 7.3.1.7

正弦と余弦に関して

\sec (x)

$\sec (x)$ を書き換えます。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 7.3.1.8

分数の逆数を掛け、

\frac{1}{\cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

ステップ 7.3.1.9

\cos (x)

$\cos (x)$ に

1

$1$ をかけます。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

ステップ 7.3.1.10

C

$C$ を

1

$1$ で割ります。

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

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微分積分 例

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