微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

ステップ 2.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

ステップ 2.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

ステップ 2.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 6.5

簡約します。

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 6.6

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 7

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{2 x}$ と $e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{x}$ を $\frac{1}{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{2} e^{x}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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