微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt{y^{2}} = y$ と仮定します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

ステップ 1.2

$\sqrt{y^{2}}$ と $\sqrt{x y}$ を単一根にまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

ステップ 1.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{y^{2}}{x y}$ を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

ステップ 1.3.2

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

ステップ 1.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

ステップ 1.3.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V + \sqrt{V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$0$ と $\sqrt{V}$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{V}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.3

$\sqrt{V}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{V}$ を $V^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

$V^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

べき乗則では、 $V^{- \frac{1}{2}}$ の $V$ に関する積分は $2 V^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 6.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 6.3.1.2.2

$V^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 6.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ に書き換えます。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

ステップ 6.3.1.3.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ を簡約します。

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 6.3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 6.3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 6.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 6.3.3.1.2

簡約します。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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