微分積分例

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$

ステップ 1

微分方程式を

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ の各項を

x

$x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ の各項を

x

$x$ で割ります。

\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

x

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ を

1

$1$ で割ります。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

ステップ 1.2

\sqrt{x^{2}} = x

$\sqrt{x^{2}} = x$ と仮定します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

ステップ 1.3

\sqrt{x y}

$\sqrt{x y}$ と

\sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^{2}}$ を単一根にまとめます。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

今日数因数で約分することで式

\frac{x y}{x^{2}}

$\frac{x y}{x^{2}}$ を約分します。

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ステップ 1.4.1

x

$x$ を

x y

$x y$ で因数分解します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

ステップ 1.4.2

x

$x$ を

x^{2}

$x^{2}$ で因数分解します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

ステップ 1.4.3

共通因数を約分します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

ステップ 1.4.4

式を書き換えます。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

ステップ 2

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ とします。

V

$V$ を

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ に代入します。

\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

ステップ 3

y

$y$ について

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ を解きます。

y = V x

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、

x

$x$ について

y = V x

$y = V x$ の微分係数を求めます。

\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

x \frac{d V}{d x} + V

$x \frac{d V}{d x} + V$ を

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ に代入します。

x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から

V

$V$ を引きます。

x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

V + \sqrt{V} - V

$V + \sqrt{V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

V

$V$ から

V

$V$ を引きます。

x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

ステップ 6.1.1.1.2.2

0

$0$ と

\sqrt{V}

$\sqrt{V}$ をたし算します。

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

ステップ 6.1.1.2

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ の各項を

x

$x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ の各項を

x

$x$ で割ります。

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

x

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ を

1

$1$ で割ります。

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}