微分積分 例
dydx=yx-(yx)2dydx=yx−(yx)2
ステップ 1
V=yxV=yxとします。VVをyxyxに代入します。
dydx=V-V2dydx=V−V2
ステップ 2
yyについてV=yxV=yxを解きます。
y=Vxy=Vx
ステップ 3
積の法則を利用し、xxについてy=Vxy=Vxの微分係数を求めます。
dydx=xdVdx+Vdydx=xdVdx+V
ステップ 4
xdVdx+VxdVdx+Vをdydxdydxに代入します。
xdVdx+V=V-V2xdVdx+V=V−V2
ステップ 5
ステップ 5.1
変数を分けます。
ステップ 5.1.1
dVdxdVdxについて解きます。
ステップ 5.1.1.1
dVdxdVdxを含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。
ステップ 5.1.1.1.1
方程式の両辺からVVを引きます。
xdVdx=V-V2-VxdVdx=V−V2−V
ステップ 5.1.1.1.2
V-V2-VV−V2−Vの反対側の項を組み合わせます。
ステップ 5.1.1.1.2.1
VVからVVを引きます。
xdVdx=-V2+0xdVdx=−V2+0
ステップ 5.1.1.1.2.2
-V2−V2と00をたし算します。
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
ステップ 5.1.1.2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2の各項をxxで割り、簡約します。
ステップ 5.1.1.2.1
xdVdx=-V2xdVdx=−V2の各項をxxで割ります。
xdVdxx=-V2xxdVdxx=−V2x
ステップ 5.1.1.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.1.1.2.2.1
xxの共通因数を約分します。
ステップ 5.1.1.2.2.1.1
共通因数を約分します。
xdVdxx=-V2x
ステップ 5.1.1.2.2.1.2
dVdxを1で割ります。
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
ステップ 5.1.1.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.1.1.2.3.1
分数の前に負数を移動させます。
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
ステップ 5.1.2
両辺に1V2を掛けます。
1V2dVdx=1V2(-V2x)
ステップ 5.1.3
簡約します。
ステップ 5.1.3.1
積の可換性を利用して書き換えます。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
ステップ 5.1.3.2
V2の共通因数を約分します。
ステップ 5.1.3.2.1
-1V2の先頭の負を分子に移動させます。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
ステップ 5.1.3.2.2
共通因数を約分します。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
ステップ 5.1.3.2.3
式を書き換えます。
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
ステップ 5.1.4
方程式を書き換えます。
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
ステップ 5.2
両辺を積分します。
ステップ 5.2.1
各辺の積分を設定します。
∫1V2dV=∫-1xdx
ステップ 5.2.2
左辺を積分します。
ステップ 5.2.2.1
指数の基本法則を当てはめます。
ステップ 5.2.2.1.1
V2を-1乗して分母の外に移動させます。
∫(V2)-1dV=∫-1xdx
ステップ 5.2.2.1.2
(V2)-1の指数を掛けます。
ステップ 5.2.2.1.2.1
べき乗則を当てはめて、指数(am)n=amnをかけ算します。
∫V2⋅-1dV=∫-1xdx
ステップ 5.2.2.1.2.2
2に-1をかけます。
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
ステップ 5.2.2.2
べき乗則では、V-2のVに関する積分は-V-1です。
-V-1+C1=∫-1xdx
ステップ 5.2.2.3
-V-1+C1を-1V+C1に書き換えます。
-1V+C1=∫-1xdx
-1V+C1=∫-1xdx
ステップ 5.2.3
右辺を積分します。
ステップ 5.2.3.1
-1はxに対して定数なので、-1を積分の外に移動させます。
-1V+C1=-∫1xdx
ステップ 5.2.3.2
1xのxに関する積分はln(|x|)です。
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
ステップ 5.2.3.3
簡約します。
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
ステップ 5.2.4
右辺の積分定数をCとしてまとめます。
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
ステップ 5.3
Vについて解きます。
ステップ 5.3.1
方程式の項の最小公分母を求めます。
ステップ 5.3.1.1
値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。
V,1,1
ステップ 5.3.1.2
1と任意の式の最小公倍数はその式です。
V
V
ステップ 5.3.2
-1V=-ln(|x|)+Cの各項にVを掛け、分数を消去します。
ステップ 5.3.2.1
-1V=-ln(|x|)+Cの各項にVを掛けます。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
ステップ 5.3.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.3.2.2.1
Vの共通因数を約分します。
ステップ 5.3.2.2.1.1
-1Vの先頭の負を分子に移動させます。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
ステップ 5.3.2.2.1.2
共通因数を約分します。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
ステップ 5.3.2.2.1.3
式を書き換えます。
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
ステップ 5.3.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.3.2.3.1
-ln(|x|)V+CVの因数を並べ替えます。
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
ステップ 5.3.3
方程式を解きます。
ステップ 5.3.3.1
方程式を-Vln(|x|)+CV=-1として書き換えます。
-Vln(|x|)+CV=-1
ステップ 5.3.3.2
Vを-Vln(|x|)+CVで因数分解します。
ステップ 5.3.3.2.1
Vを-Vln(|x|)で因数分解します。
V(-1ln(|x|))+CV=-1
ステップ 5.3.3.2.2
VをCVで因数分解します。
V(-1ln(|x|))+VC=-1
ステップ 5.3.3.2.3
VをV(-1ln(|x|))+VCで因数分解します。
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
ステップ 5.3.3.3
-1ln(|x|)を-ln(|x|)に書き換えます。
V(-ln(|x|)+C)=-1
ステップ 5.3.3.4
V(-ln(|x|)+C)=-1の各項を-ln(|x|)+Cで割り、簡約します。
ステップ 5.3.3.4.1
V(-ln(|x|)+C)=-1の各項を-ln(|x|)+Cで割ります。
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
ステップ 5.3.3.4.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.3.3.4.2.1
-ln(|x|)+Cの共通因数を約分します。
ステップ 5.3.3.4.2.1.1
共通因数を約分します。
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
ステップ 5.3.3.4.2.1.2
Vを1で割ります。
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
ステップ 5.3.3.4.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.3.3.4.3.1
分数の前に負数を移動させます。
V=-1-ln(|x|)+C
ステップ 5.3.3.4.3.2
-1を-ln(|x|)で因数分解します。
V=-1-(ln(|x|))+C
ステップ 5.3.3.4.3.3
-1をCで因数分解します。
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
ステップ 5.3.3.4.3.4
-1を-(ln(|x|))-1(-C)で因数分解します。
V=-1-(ln(|x|)-C)
ステップ 5.3.3.4.3.5
式を簡約します。
ステップ 5.3.3.4.3.5.1
-(ln(|x|)-C)を-1(ln(|x|)-C)に書き換えます。
V=-1-1(ln(|x|)-C)
ステップ 5.3.3.4.3.5.2
分数の前に負数を移動させます。
V=--1ln(|x|)-C
ステップ 5.3.3.4.3.5.3
-1に-1をかけます。
V=11ln(|x|)-C
ステップ 5.3.3.4.3.5.4
1ln(|x|)-Cに1をかけます。
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
ステップ 5.4
積分定数を簡約します。
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
ステップ 6
yxをVに代入します。
yx=1ln(|x|)+C
ステップ 7
ステップ 7.1
両辺にxを掛けます。
yxx=1ln(|x|)+Cx
ステップ 7.2
簡約します。
ステップ 7.2.1
左辺を簡約します。
ステップ 7.2.1.1
xの共通因数を約分します。
ステップ 7.2.1.1.1
共通因数を約分します。
yxx=1ln(|x|)+Cx
ステップ 7.2.1.1.2
式を書き換えます。
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
ステップ 7.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 7.2.2.1
1ln(|x|)+Cとxをまとめます。
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C