微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V - V^{2}$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$V - V^{2} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

ステップ 5.1.1.1.2.2

$- V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.2

両辺に $\frac{1}{V^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

ステップ 5.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.3.2

$V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

$- \frac{1}{V^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

ステップ 5.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.2.1.1

$V^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2

${(V^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

べき乗則では、 $V^{- 2}$ の $V$ に関する積分は $- V^{- 1}$ です。

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.3

$- V^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{V} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3

右辺を積分します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 5.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5.3

$V$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$V, 1, 1$

ステップ 5.3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$V$

ステップ 5.3.2

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ の各項に $V$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.2.1

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ の各項に $V$ を掛けます。

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

$- \frac{1}{V}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

ステップ 5.3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

ステップ 5.3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- \ln (| x |) V + C V$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

ステップ 5.3.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.3.1

方程式を $- V \ln (| x |) + C V = - 1$ として書き換えます。

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

ステップ 5.3.3.2

$V$ を $- V \ln (| x |) + C V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$V$ を $- V \ln (| x |)$ で因数分解します。

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

ステップ 5.3.3.2.2

$V$ を $C V$ で因数分解します。

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

ステップ 5.3.3.2.3

$V$ を $V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ で因数分解します。

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

ステップ 5.3.3.3

$- 1 \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

ステップ 5.3.3.4

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $- \ln (| x |) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $- \ln (| x |) + C$ で割ります。

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.2.1

$- \ln (| x |) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.4.2.1.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.4.3.2

$- 1$ を $- \ln (| x |)$ で因数分解します。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

ステップ 5.3.3.4.3.3

$- 1$ を $C$ で因数分解します。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

ステップ 5.3.3.4.3.4

$- 1$ を $- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ で因数分解します。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

ステップ 5.3.3.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.3.5.1

$- (\ln (| x |) - C)$ を $- 1 (\ln (| x |) - C)$ に書き換えます。

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

ステップ 5.3.3.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

ステップ 5.3.3.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

ステップ 5.3.3.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ に $1$ をかけます。

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

ステップ 5.4

積分定数を簡約します。

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$

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