微分積分例

(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

ステップ 1

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ の時の

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

y

$y$ に関して

M

$M$ を微分します。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、

3 x^{2} y + y^{2}

$3 x^{2} y + y^{2}$ の

y

$y$ に関する積分は

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

3 x^{2}

$3 x^{2}$ は

y

$y$ に対して定数なので、

y

$y$ に対する

3 x^{2} y

$3 x^{2} y$ の微分係数は

3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.3

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 2

N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ の時の

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

x

$x$ に関して

N

$N$ を微分します。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、

x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + 3$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

\frac{d}{d x} [2 x y]

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

2 y

$2 y$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 x y

$2 x y$ の微分係数は

2 y \frac{d}{d x} [x]

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.3

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

3

$3$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

3

$3$ の微分係数は

0

$0$ です。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

ステップ 2.4.2

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ と

0

$0$ をたし算します。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 3

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ を

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ に、

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ を

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ は恒等式です。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

f (x, y)

$f (x, y)$ は

M (x, y)

$M (x, y)$ の積分と等しいとします。

f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

ステップ 5

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ を積分して

f (x, y)

$f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

ステップ 5.2

3 y

$3 y$ は

x

$x$ に対して定数なので、

3 y

$3 y$ を積分の外に移動させます。

f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、

x^{2}

$x^{2}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ です。

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

ステップ 5.5

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ と

x^{3}

$x^{3}$ をまとめます。

f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

ステップ 5.6

簡約します。

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

ステップ 6

g (y)

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、

C

$C$ を

g (y)

$g (y)$ で置き換えることができます。

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

ステップ 7

\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8

\frac{\partial f}{\partial y}

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

y

$y$ に関して

f

$f$ を微分します。

\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.2

総和則では、

y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ の

y

$y$ に関する積分は

\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3

\frac{d}{d y} [y x^{3}]

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

x^{3}

$x^{3}$ は

y

$y$ に対して定数なので、

y

$y$ に対する

y x^{3}

$y x^{3}$ の微分係数は

x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3.3

x^{3}

$x^{3}$ に

1

$1$ をかけます。

x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4

\frac{d}{d y} [y^{2} x]

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

x

$x$ は

y

$y$ に対して定数なので、

y

$y$ に対する

y^{2} x

$y^{2} x$ の微分係数は

x \frac{d}{d y} [y^{2}]

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4.3

2

$2$ を

x

$x$ の左に移動させます。

x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.5

g (y)

$g (y)$ の微分係数は

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 9

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から

x^{3}

$x^{3}$ を引きます。

\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から

2 x y

$2 x y$ を引きます。

\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

ステップ 9.1.3

x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

x^{3}

$x^{3}$ から

x^{3}

$x^{3}$ を引きます。

\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

ステップ 9.1.3.2

2 x y + 3

$2 x y + 3$ と

0

$0$ をたし算します。

\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

ステップ 9.1.3.3

2 x y

$2 x y$ から

2 x y

$2 x y$ を引きます。

\frac{d g}{d y} = 0 + 3

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

ステップ 9.1.3.4

0

$0$ と

3

$3$ をたし算します。

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

ステップ 10

3

$3$ の不定積分を求めて

g (y)

$g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$ の両辺を積分します。

\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

ステップ 10.2

\int \frac{d g}{d y} d y

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

g (y) = \int 3 d y

$g (y) = \int 3 d y$

ステップ 10.3

定数の法則を当てはめます。

g (y) = 3 y + C

$g (y) = 3 y + C$

g (y) = 3 y + C

$g (y) = 3 y + C$

ステップ 11

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ の

g (y)

$g (y)$ に代入します。

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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微分積分 例

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