微分積分例

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、

n

$n$ が

y^{2}

$y^{2}$ の指数のとき、

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ とします。

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

ステップ 2

y

$y$ について方程式を解きます。

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

ステップ 3

x

$x$ に関する

y

$y$ の微分係数を取ります。

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

ステップ 4

x

$x$ に関する

v^{- 1}

$v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

v^{- 1}

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 4.2

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 4.3

f (x) = 1

$f (x) = 1$ および

g (x) = v

$g (x) = v$ のとき、

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.2

1

$1$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

1

$1$ の微分係数は

0

$0$ です。

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

v

$v$ に

0

$0$ をかけます。

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

0

$0$ から

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.5

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ を

v'

$v'$ に書き換えます。

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 5

元の方程式

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ の

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ を

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ に、

v^{- 1}

$v^{- 1}$ を

y

$y$ に代入します。

- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に

- v^{2}

$- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に

- v^{2}

$- v^{2}$ を掛けます。

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

v^{2}

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.2

v^{2}

$v^{2}$ を

- v^{2}

$- v^{2}$ で因数分解します。

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5

指数を足して

$v^{- 1}$ に

$v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5.3

$2$ から

$1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.7

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.8

$v$ に

$1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

ステップ 6.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

ステップ 6.1.3.2.2

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

ステップ 6.1.3.3

指数を足して

$v^{- 2}$ に

$v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

ステップ 6.1.3.3.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

ステップ 6.1.3.3.3

$2$ から

$2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

ステップ 6.1.3.4

$- e^{x} v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

ステップ 6.2

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式

$e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 6.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 6.3

各項に積分因数

$e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項に

$e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

ステップ 6.3.3

指数を足して

$e^{x}$ に

$e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

ステップ 6.3.3.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

ステップ 6.3.3.3

$x$ と

$x$ をたし算します。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

ステップ 6.3.4

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$- 1$ は

$x$ に対して定数なので、

$- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

ステップ 6.7.2

$u = 2 x$ とします。次に

$d u = 2 d x$ すると、

$\frac{1}{2} d u = d x$ です。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$u = 2 x$ とします。

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.7.2.1.2

$2$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$2 x$ の微分係数は

$2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.7.2.1.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.7.2.1.4

$2$ に

$1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.7.2.2

$u$ と

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6.7.3

$e^{u}$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6.7.4

$\frac{1}{2}$ は

$u$ に対して定数なので、

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.7.5

$e^{u}$ の

$u$ に関する積分は

$e^{u}$ です。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 6.7.6

簡約します。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 6.7.7

$u$ のすべての発生を

$2 x$ で置き換えます。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を

$e^{x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を

$e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.2.1.2

$v$ を

$1$ で割ります。

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1.1

$e^{2 x}$ と

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1.1.1

$e^{x}$ を

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3.1.1.2.4

$- \frac{1}{2} e^{x}$ を

$1$ で割ります。

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 6.8.3.1.2

$e^{x}$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7

$y^{- 1}$ を

$v$ に代入します。

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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