微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 1}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.5

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.5.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.6

$- \frac{1}{x} v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.2.1.7

$v$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.3.3

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} (v^{2} v^{- 2})$

ステップ 6.1.1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{2 - 2}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{0}$

ステップ 6.1.1.3.4

$- x^{4} v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4}$

ステップ 6.1.2

$v$ を $- \frac{v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x^{4}$

ステップ 6.1.3

$v$ と $- \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x^{4}$

ステップ 6.2

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.2.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 6.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 6.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 6.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 6.3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.3

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.4.1

$\frac{v}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

ステップ 6.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x^{4}$

ステップ 6.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x^{4}$

ステップ 6.3.4.2

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

ステップ 6.3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

ステップ 6.3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - x^{3}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - x^{3}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - x^{3} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} v = \int - x^{3} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} v = - \int x^{3} d x$

ステップ 6.7.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{x} v = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 6.7.3

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} v = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 6.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x} = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 6.8.2

$x^{4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{v}{x} = - \frac{x^{4}}{4} + C$

ステップ 6.8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

ステップ 6.8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

ステップ 6.8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

ステップ 6.8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.2.1

$(- \frac{x^{4}}{4} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = - \frac{x^{4}}{4} x + C x$

ステップ 6.8.4.2.1.2

$- \frac{x^{4}}{4} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.2.1.2.1

$x$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$v = - \frac{x \cdot x^{4}}{4} + C x$

ステップ 6.8.4.2.1.2.2

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = - \frac{x^{1} x^{4}}{4} + C x$

ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = - \frac{x^{1 + 4}}{4} + C x$

ステップ 6.8.4.2.1.2.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$v = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

ステップ 7

$y^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 1} = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

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微分積分 例

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